Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

3. Qual é a taxa máxima de variação em P?

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa equação de potencial V :

V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

E no item 1 dessa questão perguntou qual era a taxa de variação desse potencial na direção de um determinado vetor e no ponto P

Encontramos assim a derivada direcional de V em P . Já no segundo item ele perguntou qual é a direção em que V varia mais rapidamente em P

E eu respondo para você: a direção em que qualquer superfície varia mais em um determinado ponto é o VETOR GRADIENTE NESSE PONTO!

Essa é justamente a definição desse vetor! O vetor gradiente tem como principal característica ser um vetor na direção da maior (ou menor se for – o gradiente) taxa de variação da função em um determinado ponto!

E agora o problema pergunta qual é o valor dessa taxa de variação máxima! É O MÓDULO DO VETOR

Como já temos o vetor gradiente no ponto, agora nossa missão é encontrar a norma desse vetor:

∇ → V = V x 2 + V y 2 + V z 2

E é isso que vamos fazer! Mas calma, vou relembrar os resultados e fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado temos o seguinte:

V = 5 x 2 - 3 x y + x y z

E o gradiente é:

∇ V → = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z = ( 10 x - 3 y ;   - 3 x + x z ; x y )

Beleza? Agora basta aplicar no ponto P ( 3,4 , 5 ) :

∇ → V P = 30 - 14 ;   - 9 + 15 ; 12 = ( 14 ; 6 ; 12 )

E é isso! A direção em que o potencial varia mais rapidamente é a direção do vetor ( 14 ,   6 ,   12 )

Passo 3

E agora vamos calcular o módulo desse vetor:

∇ → V P = ( 14 ,   6 ,   12 )

∇ → V = 14 2 + 6 2 + 12 2 = 376

Essa é a maior taxa de variação!

Ufa! Terminamos!

Resposta

376

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )