Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

A altura do pico do Jabre (município de Matureia – PB) é, de maneira aproximada, dada por

h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2

onde h mede a altura em relação ao nível do mar e ( x ,   y ) mede as distâncias leste-oeste e norte-sul em relação ao local do pico (medidas em quilômetro). Considerando que você esteja localizado no ponto x ,   y = ( - 2 ,   - 4 ) , determine:

c) Determine a taxa de variação da altura na direção v → = ( - 1 ,   1 ) (direção sudeste).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente supor que estamos caminhando na direção sudeste do pico descrito pela equação h ( x ,   y ) . E ele quer saber a taxa de variação da altura nessa direção.

Para isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da função na direção do vetor v → = ( - 1 ,   1 ) . A derivada direcional na direção do vetor v → = ( a ,   b ) é dada por:

D u h x ,   y = h x x ,   y a + h y x ,   y b

onde h x e h y são as derivadas parciais de h em relação a x e a y , respectivamente, e a ,   b = ( - 1 ,   1 ) nesse caso.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2 .

Considerando y constante, derivamos em relação a x :

h x = - 0,0013 x

Agora considerando x constante, temos a derivada em relação a y :

h y = - 0,00048 y

Então, nossa derivada direcional será:

D u h x ,   y = ( - 0,0013 x ,   - 0,00048 y )

No ponto v → = ( - 1 ,   1 ) vamos obter:

D u h 0 ,   1 = - 0,0013 - 1 + - 0,00048 1

D u h 0 ,   1 = 0,0013 - 0,00048 = 0,00082

Logo, se andarmos na direção sudeste, vamos subir o pico a uma taxa de 0,000 82 na vertical para cada metro na horizontal, que é nossa taxa de variação de altura.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0,00082   k m

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )