Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Noite, questão 4

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005 x 2 - 0,01 y 2 , em que x , y e z são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas 60 ,   40 ,   966 . O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

Passo 1

a)

Vamos dar uma passeada nessa montanha. Tá, se estamos andando para o Sul, então nosso vetor diretor é 0 , - 1 , beleza? Só imaginar os pontos cardeais mesmo, com o norte pra cima j ^ , sul pra baixo - j ^ , Leste para a direita i ^ e Oeste para a esquerda - i ^ .

Agora, para saber se estamos subindo ou descendo a montanha, temos que ver se a taxa de variação é positiva ou negativa. Isso significa ver se a derivada direcional é maior ou menos que 0 ! Então, só temos que aplicar a definição:

D u → f x , y = ∇ f x , y . u → u →

Temos, aqui, u → = 0 , - 1 , e, como sua normal já é 1 , pois é um vetor unitário de uma direção, podemos desconsiderar u → no denominador ;)

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Passo 2

Só precisamos encontrar agora o vetor gradiente, certo? Vamos lá! Pegamos a função, derivamos em relação a cada variável e montamos o vetor:

z = f x , y = 1000 - 0,005 x 2 - 0,01 y 2

f x = - 0,005.2 . x

f y = - 0,01.2 . y

∇ f x , y = - 0,01 x , - 0,02 y

Agora, jogamos esse gradiente na equação da derivada direcional, tendo x = 60 e y = 40 , que são as coordenadas do ponto que estamos:

D u → f 60,40 = - 0,01.60 , - 0,02.40 . 0 , - 1 =

0 - 0 , 8 . - 1 = 0,8

Assim, se andarmos para o Sul, teremos taxa de variação positiva de 0,8 m / s .

Passo 3

b)

Beleza, vamos fazer a mesma coisa, só precisamos mudar o vetor, certo? Nordeste está exatamente entre o Norte e o Leste. Para quem não consegui visualizar:

Logo, o vetor diretor da direção Nordeste é 1,1 , certo? Ele faz 45 ° certinho com os eixos cartesianos :)

Mas, atenção: o vetor 1,1 não é unitário! Então, precisamos dividir pela sua norma, que será a raiz quadrada das coordenadas ao quadrado, ou seja u → = 1 2 + 1 2 = 2

Ok, jogando tudo na equação da derivada direcional novamente, mas, agora para o vetor u → = 1,1 ,

D u → f 60,40 = - 0,01.60 , - 0,02.40 . 1,1 2 =

- 0,6   . 1 2 - 0,8   . 1 2 = - 1,4 1 2

Logo, estaremos descendo a uma taxa de - 1,4 1 2 m / s !

Passo 4

c) A direção e maior taxa de variação é a direção do vetor gradiente (decore isso, é pra estar no sangue!). Assim, para sabermos a taxa de variação, vamos encontrar a norma do vetor gradiente, apenas isso! Se, para o ponto 60,40 o vetor gradiente é - 0,01.60 , - 0,02.40 , então, sua normal será:

∇ F x , y = - 0,6 2 + - 0,8 2 = 1

Assim, estaremos variando nossa altura a 1 m / s !

Resposta

a) Se andarmos para o Sul, estaremos subindo a 0 , 8 m / s

b) Andando em sentido Nordeste, estaremos descendo a - 1,4 1 2 m / s

c) Para termos a maior taxa de variação, temos que andar na direção do vetor gradiente, e estaremos subindo a 1 m / s

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