Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja f a função dada por

f x ,   y = x 2 + y 4 - 2 x - 4 y

Determine todos os pontos x ,   y em R 2 nos quais a direção de maior variação de f é 2 i ^ + j ^ .

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver mais um problema de cálculo 2?

O segredo aqui é saber que o sentido de maior crescimento da função é o sentido do vetor gradiente.

O gradiente de f é dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x - 2 ,   4 y 3 - 4

O ponto em que a direção de maior crescimento de f for u → = 2 i ^ + j ^ = 2 ,   1 é o ponto quem ∇ f é paralelo a u → . Matematicamente, isso é escrito como

2 x - 2 ,   4 y 3 - 4 = λ   u →

Passo 2

Logo, temos

2 x - 2 ,   4 y 3 - 4 = λ   2,1

Ou ainda,

2 x - 2 = 2 λ 4 y 3 - 4 = λ

Substituindo λ da segunda equação na primeira:

2 x - 2 = 2 4 y 3 - 4

Simplificando por 2 :

x - 1 = 4 y 3 - 4

Isolando x :

x = 4 y 3 - 3

O conjunto dos pontos x ,   y que satisfazem a equação acima são os pontos pedidos no problema:

x ,   y ∈ R 2   :   x = 4 y 3 - 3

Resposta

x ,   y ∈ R 2   :   x = 4 y 3 - 3

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )