Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2

A derivada direcional de f ( x , y , z ) num ponto P é maior na direção e sentido de v → = ( 2,2 , - 2 ) . Nessa direção o valor da derivada é 48 . Qual é o gradiente de f em P ?

(a) 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

(b) ( 1,1 , - 1 )

(c) 2 2 , 2 2 , - 2 2

(d) ( 4,4 , - 4 )

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:

∂ f ∂ v → = ∇ f P ⋅ v → v →

E ele nos deu ∂ f ∂ v → = 48 . Logo,

∇ f P ⋅ v → v → = 48

E temos v → = ( 2,2 , - 2 ) . Então só falta calcular seu módulo:

v → = 2 2 + 2 2 + - 2 2 = 12

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Passo 2

Então vamos ter

∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 12 = 48

⇒ ∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 1 12   = 4 12 = 2 12

Multiplicando por 12 dos 2 lados:

∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 = 2 12

⇒ ∇ f P ⋅ v → = 24

Passo 3

Agora tem que ficar atento no enunciado!

Ele disse que a derivada direcional é maior na direção e sentido de v → , e isso é uma característica do gradiente (a função cresce o mais rápido no sentido do gradiente).

Isso significa que ∇ f ( P ) e v → são paralelos, então o ângulo entre eles é zero. E por que eu disse isso? Pra gente aproveitar das propriedades do produto escalar!

O produto escalar de 2 vetores é o produto dos módulos dos vetores vezes o cosseno do ângulo entre eles, logo:

∇ f P ⋅ v → = ∇ f P v → cos ⁡ 0

⇒   ∇ f P ⋅ v → = ∇ f P v →

Passo 4

Lembrando que v = 12 , vamos ter:

∇ f P ⋅ v → = 24

⇒   ∇ f P 12 = 2 ( 12 )

⇒   ∇ f P = 2 12 12 = 2 12 = 2 v →

Show! Achamos que o gradiente é 2 vezes maior que v → , e já sabemos que eles têm a mesma direção e sentido, então

∇ f P = 2 v →

∇ f P = ( 4,4 , - 4 )

Resposta

Alternativa (d)

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