Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 21) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x , y = 4 y x ,                     4 ,   1

Passo 1

Olá pessoaaaal! Vamos lá, o problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado. Para isso, devemos lembrar que a direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do vetor gradiente. Assim, seu valor máximo será a norma do gradiente, sacou?

Então vamos lá!!

Passo 2

Temos a função

f x , y = 4 y x

Vamos calcular suas derivadas parciais para encontrarmos o gradiente da função

f x = 2 y x

f y =   4 x

Então, o vetor gradiente da função é

∇ f x , y = 2 y x ,   4 x

Usando x ,   y = ( 4 ,   1 ) , que é o ponto dado:

∇ f 4 ,   1 = 1 ,   8

Passo 3

A direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do gradiente:

u → = 1 ,   8

Calculando o módulo desse vetor, temos a taxa de variação máxima:

u → = 1 2 + 8 2 = 65

E deixando o vetor na forma unitária, dividindo pelo seu módulo, vamos ter a direção em que isso ocorre:

u → = 1 65 , 8 65

E é isso galerinha

Resposta

∇ f 4,1 = 65

1 65 , 8 65

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )