Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Calculo 2 – UFPE – 2° EE

Suponha que o potencial numa lâmina plana é dada por

V x , y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20

Em volts, x e y em cm.

  1. Dado um ponto arbitrário x , y , determine a taxa de variação do potencial V na direção do vetor 1,1
  2. Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto 1,2 ?
  3. Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta mais rápido?
  4. Em que direção, a partir da origem, o potencial se mantem constante?

Passo 1

Determinar a taxa de variação do potencial V na direção do vetor 1,1 significa, em outras palavras, que estamos calculando uma derivada direcional. Relembrando, uma derivada direcional é dada por:

D u → f x , y = ∇ f x , y ⋅ u →

Isto é, o produto interno do vetor gradiente (um vetor de derivadas parciais) da função f um o vetor u → , o qual indica a direção. É importante destacar que o vetor u → tem que ser unitário! Caso ele não seja, temos que normalizar!

E é isto o que acontece nesta questão. O vetor 1,1 possui uma normal diferente de 1. Para isto, basta tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Portanto,

1 2 + 1 2 = 2

Como queremos normalizar este vetor e assim obter u → , basta dividir o vetor 1,1 pela sua norma! Logo,

u → = 1,1 2 = 1 2 , 1 2 = 2 2 , 2 2

Bom, uma primeira parte já foi. Agora temos que obter o vetor gradiente. Ele é expresso por ∇ f x , y = f x x , y , f y x , y . Portanto, basta derivarmos a nossa f parcialmente (lembrem-se que, ao derivarmos em relação a x , consideramos y uma constante, e vice-versa). Logo,

∇ f x , y = f x x , y , f y x , y = - 20 e - x 2 + y 2 20 + 2 x 2 e - x 2 + y 2 20 , 2 x y e - x 2 + y 2 20

Agora, vamos calcular a derivada direcional ao fazermos o produto interno. Lembrando, somamos o produto da primeira coordenada de cada vetor pelo produto da segunda coordenada de cada vetor. Logo,

D u → f x , y = ∇ f x , y ⋅ u →

D u → f x , y = - 20 e - x 2 + y 2 20 + 2 x 2 e - x 2 + y 2 20 , 2 x y e - x 2 + y 2 20 ⋅ 2 2 , 2 2

D u → f x , y = - 20 e - x 2 + y 2 20 + 2 x 2 e - x 2 + y 2 20 ⋅ 2 2 + 2 x y e - x 2 + y 2 20 ⋅ 2 2

D u → f x , y = - 10 + x 2 ⋅ 2 e - x 2 + y 2 20 + x y ⋅ 2 e - x 2 + y 2 20

D u → f x , y = x 2 + x y - 10 ⋅ 2 e - x 2 + y 2 20

E assim terminamos a letra a).

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Passo 2

A taxa máxima de variação em qualquer ponto é exatamente a norma do vetor gradiente. Como já calculamos o vetor gradiente no Passo anterior, basta substituirmos as coordenadas dos pontos x , y = 1,2 e depois calculamos a norma deste vetor.

Obtendo o vetor gradiente no ponto 1,2 primeiramente, temos:

∇ f 1,2 = - 20 e - 1 2 + 2 2 20 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ e - 1 2 + 2 2 20 , 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ e - 1 2 + 2 2 20

∇ f 1,2 = - 18 e - 5 20 + 2 e - 5 20 , 4 e - 5 20

∇ f 1,2 = - 18 e - 1 4 , 4 e - 1 4

Agora, vamos calcular a norma deste vetor gradiente. Para isto, basta tirarmos a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Portanto,

∇ f 1,2 = - 18 e - 1 4 2 + 4 e - 1 4 2 = e - 1 4 - 18 2 + 4 2

∇ f 1,2 = e - 1 4 324 + 16 = 2 e - 1 4 85

Logo, a taxa máxima de variação no ponto 1,2 é 2 e - 1 4 85 .

Passo 3

Se queremos analisar qual a direção em que uma função aumenta mais rápido a partir de um ponto qualquer, basta analisarmos a direção do vetor gradiente neste ponto.

Portanto, se queremos verificar qual a direção que o potencial aumenta mais rápido a partir da origem, basta calcularmos ∇ f 0,0 . O resultado deste vetor é esta direção.

Como já obtemos anteriormente o vetor gradiente, basta substituirmos as coordenadas do ponto 0,0 . Logo,

∇ f 0,0 = - 20 e - 0 2 + 0 2 20 + 2 ⋅ 0 2 ⋅ e - 0 2 + 0 2 20 , 2 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ e - 1 2 + 2 2 20

∇ f 0,0 = - 20 + 0 , 0 = - 20,0

Portanto, a direção é ∇ f 0,0 = - 20,0 .

Passo 4

Por fim, o potencial se mantém constante na direção perpendicular aquela que possui a maior taxa. Como calculamos no passo anterior, o potencial aumenta mais rapidamente na direção - 20,0 .

Portanto, se queremos obter a direção em que o potencial se mantém constante, basta obtermos uma direção perpendicular a esta obtida anteriormente. No caso, seria a direção 0,1 , que consiste no eixo y (a direção calculada no passo anterior consiste no eixo x ).

Resposta

  1. A taxa de variação do potencial V na direção do vetor 1,1 é:
  2. D u → f x , y = x 2 + x y - 10 ⋅ 2 e - x 2 + y 2 20

  3. A taxa máxima de variação do potencial no ponto 1,2 é:
  4. ∇ f 1,2 = 2 e - 1 4 85

  5. A partir da origem, a taxa de variação é máxima na direção
  6. ∇ f 0,0 = - 20,0

  7. A partir da origem, potencial se mantém constante na direção 0,1 , que consiste no eixo y .

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