Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 28) Determine as direções em que a derivada direcional de f x , y = y . e - x y no ponto (0, 2) tem valor 1.

Passo 1

Oiii gente, vamos lá! Temos uma função e um ponto, e aí queremos saber quando a derivada direcional nesse ponto vale 1, ou seja, queremos encontrar os vetores genéricos de direção u → = ( a , b ) em que isso acontece

Isso vai acontecer quando o produto escalar entre o vetor gradiente no ponto ( 0,2 ) e a direção for igual a 1 :

∇ f 0,2 . a , b = 1

Então vamos lá

Passo 2

Temos a função

f x , y = y . e - x y

Vamos começar encontrando suas derivadas parciais, pra aí termos o vetor gradiente

            f x = - y ² e - x y

f y = e - x y - x y e - x y

Então, o vetor gradiente é

∇ f x , y = - y 2 . e - x y , e - x y - x y e - x y

Aplicando no ponto ( 0,2 ) :

∇ f 0,2 = ( - 4,1 )

Passo 3

Então, se o produto escalar entre o vetor gradiente e a direção ( a , b ) deve ser 1:

- 4,1 . a , b = 1

- 4 a + b = 1

Assim - 4 x + y = 1 quando a derivada direcional for 1 :

y = 4 x + 1

Então, a derivada direcional da função vai ser 1 no ponto dado quando o vetor estiver na direção da reta y = 4 x + 1

E fimmm

Resposta

y = 4 x + 1

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )