Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Questão 3: Considere a função f x ,   y = 200 e - x 2 - 3 y 2 , e o ponto P 2 ,   - 1 .

  1. Qual a taxa de variação de f , por unidade de comprimento, ao deslocarmos em linha reta do ponto P ao Q 3 ,   - 3 , quando estivermos em P ?
  2. Qual a direção (vetor unitário) de maior crescimento de f no ponto P ?
  3. Qual a taxa máxima de variação (por unidade de comprimento) de f no ponto P ?

Passo 1

a )

Taxa de variação, já logo nos remete à derivada, não é mesmo? E é exatamente isso que vamos fazer aqui, só que com o detalhe de ser uma derivada direcional, já que queremos necessariamente na direção do ponto P ao Q , saca?

Se chamarmos o vetor que dá a direção da linha reta de P até Q de u → , então a gente calcula essa taxa, ou melhor, derivada direcional, assim (teoria):

∂ f ∂ u → = ∇ f ⋅ u →

Temos então duas coisas a fazer: primeiro, encontrar esse vetor u → , e segundo determinar esse gradiente de f . Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como já vimos, o vetor u → é o vetor que dá a direção da retinha de P a Q . Podemos sempre encontra-lo fazendo assim:

u → = P Q → P Q →

Como P = 2 ,   - 1 e Q = 3 ,   - 3 ...

P Q → = Q - P = 1 ,   - 2

O módulo do vetor então é...

P Q → = 1 2 + - 2 2 = 5

Logo, o vetor u → é...

u → = 1 5 ,   - 2 5

Passo 3

Quanto ao gradiente de f ...

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Calculando essas derivadas já que f x ,   y = 200 e - x 2 - 3 y 2 ...

∂ f ∂ x = 200 e - x 2 - 3 y 2 ⋅ - 2 x =

- 4 00 x e - x 2 - 3 y 2

∂ f ∂ y = 200 e - x 2 - 3 y 2 ⋅ - 6 y =

- 1200 y e - x 2 - 3 y 2

O vetor gradiente é então...

∇ f = - 400 x e - x 2 - 3 y 2 , - 1200 y e - x 2 - 3 y 2

Aplicando o vetor gradiente no ponto P = 2 ,   - 1 ...

∇ f 2 ,   - 1 = - 800 e - 4 - 3 , 1200 e - 4 - 3 =

- 800 e - 7 , 1200 e - 7

Passo 4

Então a derivada direcional de P para Q é de acordo com a fórmula que vimos...

∂ f ∂ u → = ∇ f ⋅ u →       →

∂ f ∂ u → = - 800 e - 7 , 1200 e - 7 ⋅ 1 5 ,   - 2 5

- 800 e - 7 5 - 2 ⋅ 1200 e - 7 5 =

- 3 200 e - 7 5

Passo 5

b )

O vetor de maior crescimento em P se você se recordar está sempre na direção do vetor gradiente! Então se chamarmos esse vetor de v → , ele se calcula...

v → = ∇ f ∇ f

O motivo de dividir o vetor pelo seu módulo é só porque queremos o vetor unitário na direção do vetor gradiente, saca? Então no ponto P ...

v → = - 800 e - 7 , 1200 e - 7 - 800 e - 7 , 1200 e - 7

Como o módulo desse vetor é...

- 800 e - 7 , 1200 e - 7 = - 800 e - 7 2 + 1200 e - 7 2 =

2 2 ⋅ 400 2 e - 14 + 3 2 ⋅ 400 2 e - 14 =

400 e - 7 2 2 + 3 2 =

400 e - 7 13

Assim...

v → = - 800 e - 7 , 1200 e - 7 - 800 e - 7 , 1200 e - 7 = - 800 e - 7 , 1200 e - 7 400 e - 7 13 =

- 2 13 , 3 13

Passo 6

A taxa máxima de variação no ponto P é o próprio módulo do vetor na direção máxima, ou seja o módulo do vetor gradiente!

∇ f

No caso, a gente já acabou de calcular e ele vale...

∇ f = 400 e - 7 13

Resposta

a )   - 3200 e - 7 5

b )   - 2 13 , 3 13

c )   400 e - 7 13

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