Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável tal que o valor máximo de D u f 0,2 é igual a 2 e ocorre quando u = 2 2 , 2 2 . Se x s , t = s 2 t , y s , t = 2 s e t e F s , t = f x s , t , y s , t então ∂ F ∂ t ( 1,0 ) é:

  1. 2 2
  2. 0
  3. 2
  4. 3 2 2
  5. 3 2

Passo 1

Queremos saber a derivada parcial de F , que é uma função composta, em relação a t .

E, para derivada de função composta, usamos a regra da cadeia. Assim,

∂ F ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

As derivadas de x e y em relação a t nós podemos calcular, já que temos as leis de formação de x e y .

Então vamos começar por elas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A derivada parcial de x em relação a t vai ser:

x t = s 2 t   ⇒   ∂ x ∂ t = s 2  

E a derivada parcial de y em relação a t vai ser:

y s , t = 2 s e t ⇒   ∂ y ∂ t = 2 s e t

Passo 3

Agora só está faltando as derivadas parciais de f .

Mas, como vamos fazer se a gente não tem a expressão de f ?

Bem, é ai que entra uma informação valiosa que o enunciado nos deu.

Ele disse o valor máximo da derivada direcional e a direção dessa derivada.

Mas, sabemos que

D u f P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

E o valor máximo da derivada direcional ocorre na direção do vetor gradiente:

u = ∇ f x , y ⇔ D u f x , y = m a x

E que

t a x a   m á x i m a = ∇ f x , y

Assim, temos que

D u f m á x = 2 = ∇ f x , y

E

u = 2 2 , 2 2

Então, para achar o vetor gradiente sem ser unitário, basta multiplicar esse vetor u unitário pelo seu módulo:

∇ f x , y = 2 2 , 2 2 ∙ 2

∇ f x , y = 2 , 2

Passo 4

Beleza, agora já temos tudo. Podemos calcular a derivada parcial de F em relação a t .

∂ F ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ F ∂ t = 2 ∙ s 2 + 2 ∙ 2 s e t

Substituindo no ponto ( 1,0 ) :

∂ F ∂ t ( 1,0 ) = 2 ∙ 1 2 + 2 ∙ 2.1 e 0

∂ F ∂ t 1,0 = 2 + 2 2

∂ F ∂ t ( 1,0 ) = 3 2

Resposta

L e t r a   e

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