Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja f uma função diferenciável em R 2 tal que

f a , b = 5

f x a , b ≠ 0

f y a , b ≠ 0

Seja C a curva de equação

f x , y = 5

E u um veto não nulo, tangente a C em ( a , b ) . Considere as afirmativas.

  1. A derivada direcional D u f a , b = 0
  2. ∇ f a , b ∙ u = 0
  3. Se v é um vetor qualquer e w = ∇ f ( a , b ) , então D w f a , b ≥ D v f ( a , b )
  4. r t = a + f x a , b t , b - f y a , b t ,   t ∈ R é a equação da reta normal a C em ( a , b )
  5. Se γ t = x t , y t ,     t ∈ I   é uma parametrização de C e h t = f γ t , então h ' α = 0 , onde γ α = ( a , b )

Assinale a resposta correta:

  1. Todas são verdadeiras
  2. Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
  3. Apenas a afirmativa IV é falsa
  4. Apenas as afirmativas IV e V são falsas
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Vamos tentar analisar cada afirmativa.

“A derivada direcional D u f a , b = 0

A fórmula da derivada direcional é

∂ f ∂ u a , b = ∇ f a , b ⋅ u u  

Ou seja, é um produto escalar entre dois vetores.

Se a questão nos diz que o vetor u é um vetor tangente a curva C no ponto ( a , b ) , isso significa que o vetor gradiente e o vetor u são vetores perpendiculares, logo, o produto escalar tem que dar zero.

Afirmativa verdadeira.

Passo 2

∇ f a , b ∙ u = 0

Ora veja você se essa afirmativa não diz exatamente a mesma coisa que a anterior, só que com outras palavras?

Então é isso, já entendemos que esses dois vetores são perpendiculares e por isso o produto escalar entre eles é zero.

Verdade.

Passo 3

“Se v é um vetor qualquer e w = ∇ f ( a , b ) , então D w f a , b ≥ D v f ( a , b )

Se w é o próprio vetor gradiente, então a derivada direcional na direção do vetor w , que é o vetor gradiente, é máxima. Assim, a derivada direcional na direção de qualquer outro vetor vai ser sempre menor ou igual a derivada direcional máxima, que é aquela que a gente calcula na direção do vetor gradiente.

Belezinha?

Passo 4

r t = a + f x a , b t , b + f y a , b t ,   t ∈ R é a equação da reta normal a C em ( a , b )

Vamos encontrar a reta normal a essa curva. Para isso, temos um passo a passo.

Começamos substituindo f ( x , y ) por z na equação:

f x , y = z = 5

Jogando tudo para um lado só e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - 5

Agora a gente calcula o gradiente:

∇ F = ( 0,0 , 1 )

E substitui no ponto de interesse, que é o ponto a , b , f a , b ou seja, o ponto ( a , b , 5 ) :

∇ F ( a , b , 5 ) = ( 0,0 , 1 )

E finalmente, a equação da reta normal é:

r t = P 0 + ∇ F P 0 t

r t = a , b , 5 + ( 0,0 , 1 ) t

r t = a , b , 5 + t   ,   t ∈ R

Portanto, afirmativa falsa!

Passo 5

“Se γ t = x t , y t ,     t ∈ I   é uma parametrização de C e h t = f γ t , então h ' α = 0 , onde γ α = ( a , b ) "

Quando t = α temos que

x = a

y = b

Assim

h α = f γ α = f a , b = 5

E 5 é uma constante e derivada de constante vale zero.

Logo, essa afirmativa é verdadeira.

Resposta

Letra c

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )