Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 31) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é de 120°.

a) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3).

b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.

Passo 1

Opaaa... Vamos interpretar esse enunciado cheeeio de palavras?

A primeira coisa que sabemos é que ele vai dar uma equação pra temperatura, né? Precisamos encontrar essa equação antes de resolver os itens

Temos que a temperatura é inversamente proporcional à distância do centro da bola.

T ∝ 1 r

Booom... a distância do centro da bola é o raio, concorda??? E também, já podemos definir uma constante na parte de cima (só pra usar o sinal de igual e tirar aquele de proporcional), que não podemos afirmar que é 1, beleza?

T = K r

Maaas lembra como é a equação de uma esfera centrada na origem???

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Showww, a partir disso já podemos isolar o raio:

r = x 2 + y 2 + z 2

Ohhhh.... então achamos uma equação pra temperatura 😉

T x , y , z = K x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Agora nós temos que no ponto 1,2 , 2 a temperatura é 120 ° . Então a gente substitui na equação e acha o K .

T 1,2 , 2 = K 1 2 + 2 2 + 2 2 = 120

K 9 = 120

K = 360

Agoraaa sim a equação ta completinha:

T x , y , z = 360 x 2 + y 2 + z 2

Boraaa resolver os itens

Passo 3

a) Nesse caso queremos a derivada direcional da função no ponto ( 1,2 , 2 ) em direção ao ponto ( 2,1 , 3 ) . A derivada direcional na direção u é dada assim

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z . u

Onde u é o vetor unitário da direção

Vamos começar calculando o gradiente de T no ponto 1,2 , 2

f x = - 360 x x 2 + y 2 + z 2 3 2

f y = - 360 y x 2 + y 2 + z 2 3 2

f z = - 360 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Então o gradiente é

∇ T = - 360 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - 360 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - 360 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

No ponto 1,2 , 2 :

∇ T 1,2 , 2 = - 40 3 , - 80 3 , - 80 3

Passo 4

Vamos também achar o vetor direção do ponto P 1,2 , 2 até Q 2,1 , 3 :

P Q → = 2,1 , 3 - 1,2 , 2

P Q → = 1 , - 1,1

Maaas precisamos normalizar, então:

u → = P Q → P Q

u → = 1 , - 1,1 1 2 + - 1 2 + 1 2

u → = 1 3 , - 1 3 , 1 3

Passo 5

Então, pra achar a taxa a gente faz o produto escalar:

D u T = ∇ T ⋅ u →

D u T = - 40 3 , - 80 3 , - 80 3 ⋅ 1 3 , - 1 3 , 1 3

D u T = - 40 3 3 + 80 3 3 - 80 3 3

Logo:

D u T = - 40 3 3

Passo 6

Agora pra resolver a letra b) vamos pegar a derivada direcional que achamos na letra a) (mais conhecida como gradiente):

∇ T = - 360 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 i ^ - 360 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 j ^ - 360 z x 2 + y 2 + z 2 3 2 k ^

Podemos escrever assim:

∇ T = - 360 x 2 + y 2 + z 2 3 2 x i ^ + y j ^ + z k ^

Entãooo... tem um teorema no livro que diz:

“Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da derivada direcional D u f x é ∇ f x ocorre quando u → tem a mesma direção do vetor gradiente ∇ f x

E no nosso caso aqui f x = T x , y , z .

Vamos pegar um ponto qualquer P x , y , z e um ponto Q x 0 , y 0 , z 0 que é pra onde o ponto P vai apontar. (beeem parecido com o que a gente fez no item a), reparou?)

Então a gente teria o vetor:

u → = x 0 - x x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 i ^ + y 0 - y x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 j ^ + z 0 - z x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 k ^

Daí precisamos lembrar que pra dois vetores terem a mesma direção eles precisam ser proporcionais.

E isso só vai acontecer se Q 0,0 , 0 : (que é a origem)

u → = - x x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 i ^ + - y x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 j ^ + - z x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 k ^

u → = - 1 x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 x i ^ + y j ^ + z k ^

Repara que tanto em ∇ T e em u → temos x i ^ + y j ^ + z k ^ . Daí mostramos que eles têm a mesma direção somente se estiver apontando para a origem, fechou?

Resposta

D u T = - 40 3 3

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