Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Considere a curva γ t = α t ,   β t ,   com γ 0 = 1,2 , e a função f x , y = x 3 y 3 - x y . Suponha que γ ' 0 ≠ ( 0,0 ) e que f   ∘ γ t = 6 para todo t ∈ D γ . Determine:

b ) A direção e sentido de maior decrescimento de f em ( 1,2 ) .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Como também uma curva já parametrizada dada por:

γ t = α t ,   β t

Aqui precisamos calcular a direção e sentido de maior decrescimento de f em ( 1,2 ) .

Vocês têm alguma ideia de como podemos fazer isso?

Então galera, o sentido do maior decrescimento de uma função f em um dado ponto ( x 0 , y 0 ) é dado por:

- ∇ f ( x 0 , y 0 )

Ou seja, a direção do maior decrescimento coincide com o vetor gradiente da função no ponto.

Show de bola! Então vamos calcular o nosso vetor gradiente em ( 1,2 ) e determinar o sentido de maior decrescimento pedido.

Passo 2

Temos que:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Logo:

∂ f ∂ x = 3 x 2 y 3 - y

Em ( 1,2 ) , temos:

∂ f ∂ x 1,2 = 22

Já em relação a y , temos:

∂ f ∂ y = 3 y 2 x 3 - x

Em ( 1,2 ) :

∂ f ∂ y 1,2 = 11

Logo:

∇ f 1,2 = ( 22,11 )

A direção de maior decrescimento é dada pelo próprio vetor gradiente, ou seja:

( 22,11 )

Assim, o sentido de maior decrescimento vale:

- ∇ f ( 1,2 )

Ou seja:

- ( 22,11 )

Prontinho galera! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

- ( 22,11 )

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )