Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Direcionais

Seja G = G x , y uma função de classe C 2 em R 2 e considere F : R 2 → R dada por

F s , t = s G s t , - s

  1. Calcule δ F δ s s , t ,   δ F δ t s , t e δ 2 F δ s δ t s , t em termos das derivadas parciais de G .
  2. Sabendo que o plano tangente ao gráfico de G no ponto - 2 , - 2 , G - 2 , - 2 tem equação x - y + 2 z + 1 = 0 , determine o vetor ∇ G - 2 , - 2 e o valor de G - 2 , - 2 .
  3. Determine o vetor unitário u → = a , b tal que a derivada direcional de δ F δ u → ( 2 , - 1 ) seja máxima.

Passo 1

a)

O enunciado nos deu que G = G x , y e F s , t = s G s t , - s . Juntando as duas coisas, temos, para a função G , que:

G = G x , y = G s t , - s

Então,

x s t = s t y s t = - s

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Passo 2

Pela regra da cadeia, temos:

δ F s , t δ s = 1 . G x s , t , y s , t + s δ G x s , t , y s , t δ x δ x δ s + δ G x s , t , y s , t δ y δ y δ s

δ F s , t δ s = G s t , - s + s δ G s t , - s δ x . t + δ G s t , - s δ y . - 1

Passo 3

Agora, derivando em relação a t :

δ F s , t δ t = 0 . G x s , t , y s , t + s δ G x s , t , y s , t δ x δ x δ t + δ G x s , t , y s , t δ y δ y δ t

δ F s , t δ t = s δ G s t , - s δ x . s + δ G s t , - s δ y . 0

δ F s , t δ t = s 2 δ G s t , - s δ x

Passo 4

Pegando o resultado do passo anterior e calculando δ 2 F δ s δ t s , t , temos:

δ F s , t δ s δ t = 2 s δ G s t , - s δ x + s 2 δ 2 G s t , - s δ x 2 δ x δ s + δ 2 G s t , - s δ x δ y δ y δ s  

δ F s , t δ s δ t = 2 s δ G s t , - s δ x + s 2 δ 2 G s t , - s δ x 2 . t + δ 2 G s t , - s δ x δ y . - 1  

Passo 5

b)

Para essa, basta a gente usar a fórmula do plano tangente!

z = f x 0 , y 0 + δ f x 0 , y 0 δ x x - x 0 + δ f x 0 , y 0 δ y y - y 0

Ou seja,

z = f x 0 , y 0 + x δ f x 0 , y 0 δ x - x 0 δ f x 0 , y 0 δ x - y 0 δ f x 0 , y 0 δ y + y δ f x 0 , y 0 δ y

Como nosso ponto x 0 , y 0 = - 2 , - 2 , fica

z = f x 0 , y 0 + x δ f x 0 , y 0 δ x + 2 δ f x 0 , y 0 δ x + 2 δ f x 0 , y 0 δ y + y δ f x 0 , y 0 δ y

Passo 6

Como a equação do plano é x - y + 2 z + 1 = 0 , colocando na forma acima, teremos:

z = - 1 2 - x 2 + y 2

Comparando com a equação do passo 5,

z = f x 0 , y 0 + x δ f x 0 , y 0 δ x + 2 δ f x 0 , y 0 δ x + 2 δ f x 0 , y 0 δ y + y δ f x 0 , y 0 δ y

Temos que

δ f x 0 , y 0 δ x = - 1 2

E

δ f x 0 , y 0 δ y = 1 2

Logo,

∇ G - 2 , - 2 = - 1 2 , 1 2

Passo 7

Para saber o valor de G - 2 , - 2 , temos que

f x 0 , y 0 = z = - 1 2 - x 2 + y 2

Basta trocar o valor de x e y no plano, que fica:

f x 0 , y 0 = - 1 2 + 2 2 - 2 2

f x 0 , y 0 = - 1 2

ou seja,

f x 0 , y 0 = - 1 2 = G - 2 , - 2

Passo 8

c)

A derivada é máxima no sentido do vetor gradiente. Assim, o que temos que fazer é calcular essa derivada direcional na direção do vetor gradiente de F 2 , - 1 .

Tendo, então F s , t = s G s t , - s , vemos que, para o ponto 2 , - 1 fica:

F 2 , - 1 = 2 G - 2 , - 2

Como queremos o vetor gradiente ∇ F 2 , - 1 para pegar seu unitário (lembrando que u → tem a mesma direção que o gradiente), fazemos:

∇ F 2 , - 1 = δ F 2 , - 1 δ s , δ F 2 , - 1 δ t

Só que da letra a temos que δ F 2 , - 1 δ s = G - 2 , - 2 + 2 δ G - 2 , - 2 δ x . - 1 + δ G - 2 , - 2 δ y . - 1 e   δ F 2 , - 1 δ t = 4 δ G - 2 , - 2 δ x .

Logo, temos que

∇ F 2 , - 1 =   G - 2 , - 2 + 2 δ G - 2 , - 2 δ x . - 1 + δ G - 2 , - 2 δ y . - 1 ,     4 δ G - 2 , - 2 δ x

Passo 9

Substituindo os valores encontrados no item b , G - 2 , - 2 = - 1 2 e δ G - 2 , - 2 δ x , δ G - 2 , - 2 δ y   = - 1 2 , 1 2 , teremos o valor do gradiente de F s , t no ponto 2 , - 1 :

∇ F 2 , - 1 = - 1 2 + 2 - 1 2 . - 1 + 1 2 . - 1 ,   4 - 1 2

∇ F 2 , - 1 = - 1 2 , - 2

Passo 10

Agora, finalmente, o passo final! Encontrar o vetor unitário do vetor gradiente! Esse sim é o vetor u → pedido no enunciado! Para isso, basta fazer a raiz quadrada dos quadrados das componentes somadas.

u → = - 1 2 2 + - 2 2 = 17 4  

E o vetor unitário u → é - 1 2 , - 2 17 4 = - 1 2 , - 2   . 2 17 , ou seja, o vetor (que fornece o sentido) dividido pelo seu módulo.

Resposta

a)  

δ F s , t δ s = G s t , - s + s δ G s t , - s δ x . t + δ G s t , - s δ y . - 1

δ F s , t δ t = s 2 δ G s t , - s δ x

δ F s , t δ s δ t = 2 s δ G s t , - s δ x + s 2 δ 2 G s t , - s δ x 2 . t + δ 2 G s t , - s δ x δ y . - 1  

b)   G - 2 , - 2 = - 1 2 e ∇ G - 2 , - 2 = - 1 2 , 1 2

c) u → =   - 1 2 , - 2   . 2 17

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