Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Determine a direção da maior taxa de crescimento da função f x , y = y 2 x   n o   p o n t o   ( 2,4 )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos as derivadas direcionais, usaremos a fórmula:

d f d u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Então vamos calcular as derivadas, aplicar no ponto e substituir na fórmula.

Passo 2

Ele pede pra ser calculado no ponto ( 2,4 ) e vamos ter que também calcular o gradiente no ponto:

f x , y = y 2 x

d f d x = - y 2 x 2

d f d y = 2 y x

Aplicando o ponto:

d f d x 2,4 = - 4 2 2 2 = - 16 4 = - 4

d f d y 2,4 = 2 ( 4 ) 2 = 4

Jogando tudo que temos na fórmula:

d f d u P 0 = - 4,4 × u u

Beleza, mas ainda não temos o nosso vetor u . E o que ele ��? Bom, aquele é o vetor indicando a direção que a nossa função está indo.

O enunciado pede para a gente a direção aonde temos a maior taxa de crescimento, certo? E advinha só, essa direção é justamente quando a função vai em direção do próprio vetor gradiente!

Então:

u = ( - 4,4 )

Resposta

u = ( - 4,4 )

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )