Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

UFPE, Cálculo 2, EF, 2014.2, questão 2

Suponha que o potencial em uma lâmina plana é dado por

V x , y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20

Onde V é medido em volts e x e y em centímetros.

  1. Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo x , e em qualquer direção paralela ao eixo y .
  2. Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor 1,1
  3. Qual é a taxa máxima de variação no ponto 1,0 ?
  4. Em que direção, a partir da origem, o potencial cresce mais rápido?

Passo 1

  1. O que ele quer nada mais é do que as derivadas parciais. Calculando, temos:
  2. A taxa de variação na direção paralela ao eixo x vai ser:

    D u → V x , y =   ∇ V . u →

    Em que u → = ( 1,0 ) . Calculando as derivadas parciais:

    V x = - 20 e - x 2 + y 2 20 - 20 x - x 10 e - x 2 + y 2 20 = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2

    V y = - 20 x - 2 y 20 e - x 2 + y 2 20 = 2 x y e - x 2 + y 2 20

    Então:

    ∇ V = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 , 2 x y e - x 2 + y 2 20

    D u → V x , y = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 , 2 x y e - x 2 + y 2 20 ∙ ( 1,0 )

    D u → V x , y = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2

    E na direção do eixo y:

    D v → V x , y =   ∇ V . v →

    v → = ( 0,1 )

    D v → V x , y = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 , 2 x y e - x 2 + y 2 20 ∙ ( 0,1 )

    D v → V x , y = 2 x y e - x 2 + y 2 20

    Passo 2

  3. Sabemos que:
  4. D u → V x , y =   ∇ V . w →

    Onde w → é um vetor unitário. Portanto:

    w → = 1 2 , 1 2 = 2 2 , 2 2

    Substituindo

    D w → V x , y = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 , 2 x y e - x 2 + y 2 20   . 2 2 , 2 2  

    D w → V x , y = 2 2 e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 + 2 x y

    D w → V x , y = 2 e - x 2 + y 2 20 - 10 + x 2 + x y

    Passo 3

  5. A taxa máxima de variação é dada pelo módulo do gradiente. Vai ficar:
  6. ∇ V 1,0 = e - 1 2 + 0 2 20 - 20 + 2 1 2 2 + 2 1 0 e - 1 2 + 0 2 20 2 = - 18 e - 1 20 2

    ∇ V 1,0 = 18 e - 1 20

    Passo 4

  7. A direção de mais rápido crescimento é a do gradiente. Vamos ter:

∇ V 0,0 = e - 0 2 + 0 2 20 - 20 + 2 0 2 ,   2 0 0 e - 0 2 + 0 2 20 = - 20,0

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Resposta

a) D u → V x , y = e - x 2 + y 2 20 - 20 + 2 x 2 , D v → V x , y = 2 x y e - x 2 + y 2 20

b) D w → V x , y = 2 e - x 2 + y 2 20 - 10 + x 2 + x y

c) ∇ V 1,0 = 18 e - 1 20

d) - 20,0

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