Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Unicamp, Cálculo 2, 2019.2, P1, Questão 2.

Considere a função V x , y , z = 6 x 3 - 5 x y + x y z .

(a) Determine a taxa de variação da função V em P = 3,4 , 5 na direção do vetor v → = i + j - k .

(b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?

(c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

Agora vamos falar de taxa de variação da função. Sempre que você encontrar isso na prova de funções de várias variáveis, pense logo no vetor gradiente!

∇ f = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^ + ∂ f ∂ z k ^

É ele que a gente vai usar ao longo da questão toda: é um vetor de derivadas parciais.

Essa “taxa de variação em P   na direção do vetor v → ” é a derivada direcional no ponto P e na direção v → .

Pra calcular a derivada direcional, a gente tem que resolver esse produto escalar aqui:

D v f x P , y P , z P = ∇ f ∙ v ^

Ok, tem muitos símbolos aqui, vamos repassar algumas coisas.

Do lado esquerdo, aquele símbolo ali é a derivada direcional da função f , no ponto P = x P , y p , z p , na direção do vetor v .

E do lado direito, a gente tem o produto escalar do gradiente da função f e do vetor unitário na direção de v → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então tá, vamos começar calculando esse vetor unitária na direção de v → . Lembra da fórmula para fazer isso?

v ^ = v → v →

O nosso vetor é v → = i ^ + j ^ - k ^ = 1,1 , - 1 , então:

v ^ = i ^ + j ^ - k ^ 1 1 + 1 2 + - 1 2 = 1 3 i ^ + j ^ - k ^

E o próximo passo é calcular o gradiente da função:

∇ V = ∂ V ∂ x i ^ + ∂ V ∂ y j ^ + ∂ V ∂ z k ^

V x , y , z = 6 x 3 - 5 x y + x y z

Resolvendo cada derivada parcial separadamente, a gente vai encontrar o seguinte:

∂ ∂ x 6 x 3 - 5 x y + x y z = 18 x 2 - 5 y + y z

∂ ∂ y 6 x 3 - 5 x y + x y z = - 5 x + x z

∂ ∂ z 6 x 3 - 5 x y + x y z = x y

Então o vetor gradiente é:

∇ V x , y , z = 18 x 2 - 5 y + y z i ^ + - 5 x + x z j ^ + x y k ^

Passo 3

E agora a gente pode jogar isso na fórmula lá de cima pra encontrar a derivada direcional:

D v V = ∇ V ∙ v ^

D v V = 18 x 2 - 5 y + y z i ^ + - 5 x + x z j ^ + x y k ^ ∙ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

Mas calma, você não vai ter que usar essa expressão complicada aí. Afinal de contas, a derivada direcional é calculada em um ponto. No nosso caso, o ponto é:

P = 3,4 , 5

Substituindo isso na fórmula:

D v V P = 18 3 2 - 5 4 + 4 5 i ^ + - 5 3 + 3 5 j ^ + 3 4 k ^ ∙ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

D v V P = 162 i ^ + 0 j ^ + 12 k ^ ∙ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

Agora cuidado pra não se confundir com o produto escalar, ele segue essa fórmula aqui:

x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Então:

D v V P = 162 i ^ + 0 j ^ + 12 k ^ ∙ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

D v V P = 162 3 - 12 3 = 150 3

Simplificando um pouco:

D v V P = 150 3 3 3 = 50 3

Pronto! Calculamos a derivada na direção do vetor.

Passo 4

Beleza, o próximo passo é descobrir a direção em que a função varia mais rápido no ponto P .

Isso é a mesma coisa que perguntar qual é a direção do vetor gradiente no ponto P ! Afinal de contas, esse vetor sempre dá a direção de maior variação da função.

E a gente já calculou o gradiente lá em cima:

∇ V x , y , z = 18 x 2 - 5 y + y z i ^ + - 5 x + x z j ^ + x y k ^

No ponto P = 3,4 , 5 , esse vetor vale:

∇ V 3,4 , 5 = 18 3 2 - 5 4 + 4 5 i ^ + - 5 3 + 3 5 j ^ + 3 4 k ^

∇ V 3,4 , 5 = 162   i ^ + 12   k ^

Beleza, a direção em que a função varia mais rápido no ponto P é a direção desse vetor.

Passo 5

(c) Agora, pra fechar a questão, o enunciado pediu a taxa de máxima variação da função nesse ponto.

É só tirar o módulo do vetor gradiente! Assim como o vetor gradiente aponta na direção de maior variação, o seu módulo é justamente igual a essa taxa!

Então:

∇ V 3,4 , 5 = 162   i ^ + 12   k ^

∇ V 3,4 , 5 = 162 2 + 12 2 = 26388

Agora que a gente sabe o módulo do vetor gradiente, podemos aproveitar pra reescrever a resposta do item anterior usando um vetor unitário u ^ na direção do gradiente:

∇ V 3,4 , 5 = 162   i ^ + 12   k ^

Usando a mesma fórmula que mencionamos lá em cima:

u ^ = ∇ V 3,4 , 5 ∇ V 3,4 , 5

u ^ = 1 26388 162   i ^ + 12   k ^

Beleza, já temos tudo que a questão pediu!

Resposta

(a) A derivada direcional nesse ponto vale 50 3 .

(b) A função varia mais rapidamente na direção do vetor gradiente em P , ou seja, u ^ = 1 26388 162   i ^ + 12   k ^ .

(c) A taxa de variação máxima no ponto P é 162 2 + 12 2 = 26388 .

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