Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 3

Considere a função f x , y = x 2 sen π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Passo 1

O crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente. Então para que f u 1 ,   1 2 seja máxima o vetor u tem que estar na mesma direção e sentido de f 1 , 1 2 . Então vamos calcular esse gradiente! Pela regra do produto:

f x x , y = 2 x . sen π x y + x 2 . cos ( π x y ) . π y

  f x 1 , 1 2 = 2 sen π 2 + cos π 2 . π 2 = 2.1 + 0 = 2

Também temos:

f y x , y = x 2 . cos π x y . π x = π x ³ c o s ( π x y )

  f y 1 , 1 2 = π cos π 2 = 0

Logo:

f 1 , 1 2 = 2,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, o vetor u tem que ser paralelo ao vetor 2,0 . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo x ! Mas o vetor 2,0 é paralelo ao eixo x :

Ou seja, o ângulo entre o vetor 2,0 e o eixo x é 0 o . Então o vetor u também vai ter que formar um ângulo de 0 o com o eixo x .

Resposta

Alternativa (e)

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