Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Considere a função f x , y , z = x y + z   . Um vetor unitário u tal que a derivada direcional D u f 1,1 , 1 seja máxima é:

  1. 2 6   ,   - 1 6 ,   - 1 6
  2. 1 3   ,   - 1 3 ,   - 1 3
  3. 1 3   ,   2 6 ,   0
  4. 2 6   ,   1 6 ,   1 6
  5. 1 3   ,   1 3 ,   1 3

Passo 1

Falou derivada máxima, já temos que pensar no vetor gradiente.

Já que ele quer saber o vetor cuja direção tem a derivada máxima no ponto 1,1 , 1 ,   podemos calcular o gradiente nesse ponto, porque a derivada é máxima na direção dele.

Mas como ele quer o vetor unitário, a gente vai achar ∇ f ( 1 , 1,1 ) e dividir pelo módulo dele.

Passo 2

Calculando o gradiente para essa função a gente fica com:

f x = 1 y + z

E usando a regra do quociente, temos que:

f y = 0 y + z - x 1 y + z 2 = - x y + z 2

f z =   0 y + z - x 1 y + z 2 = - x y + z 2

Passo 3

Substituindo o ponto 1,1 , 1 :

∇ f x , y , z = 1 y + z ,   - x y + z 2 , - x y + z 2

∇ f 1,1 , 1 = 1 1 + 1 ,   - 1 1 + 1 2 , - 1 1 + 1 2 = 1 2 ,   - 1 4 ,   - 1 4

Passo 4

Agora achando o vetor unitário:

∇ f 1,1 , 1 = 1 2 2 + - 1 4 2 + - 1 4 2 = 1 4 + 1 16 + 1 16 = 3 8 = 3 2 2

Multiplicando embaixo e em cima por 2 :

∇ f 1,1 , 1 = 3 2 2 ⋅ 2 2 = 6 4

u = ∇ f 1,1 , 1 ∇ f 1,1 , 1 = 1 2 ,   - 1 4 ,   - 1 4 6 4 = 2 6 , - 1 6 , - 1 6  

Essa é a letra a.

Resposta

Letra a

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )