Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Uma função diferenciável f ( x , y , z ) cresce mais rapidamente no ponto 2,5 , - 1 na direção de v → = i ^ + 2 j ^ - 3 k ^ com taxa de variação igual a 7 .

  1. Determine ∂ f ∂ z ( 2,5 , - 1 ) .
  2. Seja s a superfície de nível de f que passa pelo ponto ( 2 , 5 , - 1 ) . Encontre a equação do plano tangente a S nesse ponto.

Passo 1

a) Queremos encontrar a derivada parcial de f em relação à z no ponto ( 2 , 5 , - 1 ) . Como a gente faz isso sem a função?

O enunciado diz para gente que f   cresce mais rapidamente nesse ponto ( 2 , 5 , - 1 ) na direção de um vetor v → . Aí que está sacada: toda vez que a gente ouvir que uma função cresce mais rapidamente numa direção, a gente tem que pensar que é a mesma direção do vetor gradiente.

Como, nesse caso, v → e o vetor gradiente tem a mesma direção, podemos dizer que eles são paralelos (múltiplos):

∇ f P o = λ v →

Mas aí a gente fica com uma incógnita a mais: λ . Então a gente precisa de mais uma equação para solucionar esse problema.

Mas calma! O enunciado também dá o valor da derivada na direção desse vetor: 7 . Se essa é a direção de maior crescimento, o valor da derivada é igual ao valor do módulo do vetor gradiente nesse ponto. Por isso, a gente pode dizer que:

∇ f P 0 = 7

Com essas informações, podemos achar a derivada parcial que ele pede. Vamos lá!

Passo 2

Usando a primeira informação:

∇ f P o = λ v →

Substituindo as informações do enunciado:

∂ f ∂ x ( P o ) , ∂ f ∂ y ( P o ) , ∂ f ∂ z ( P o ) = λ ( 1,2 , - 3 )    

P o = ( 2,5 , - 1 )

Isso vira um sistema de equações:

∂ f ∂ x ( 2,5 , - 1 ) = λ

∂ f ∂ y ( 2,5 , - 1 ) = 2 λ

∂ f ∂ z ( 2,5 , - 1 ) = - 3 λ

E a gente sabe que λ > 0 porque ambos os vetores têm a mesma direção.

Passo 3

Agora a gente precisa achar λ para descobrir o valor de cada uma dessas derivadas, usando a segunda informação, temos:

∇ f P 0 = 7

E do passo anterior:

∇ f P o = λ v →

∇ f P o = λ 1,2 , - 3

Calculando o módulo de ∇ f P o

λ 1 2 +   2 2 + - 3 2 = 7

λ 14 = 7 ∴ λ = 7 14

Passo 4

Sabendo que λ = 7 14 :

∂ f ∂ x 2,5 , - 1 = λ ∴ ∂ f ∂ x 2,5 , - 1 = 7 14

∂ f ∂ y ( 2,5 , - 1 ) = 2 λ ∴ ∂ f ∂ y ( 2,5 , - 1 ) = 14 14

∂ f ∂ z 2,5 , - 1 = - 3 λ ∴ ∂ f ∂ z 2,5 , - 1 = - 21 14 = - 3 14 2

Como a gente queria derivada parcial em relação à z , nossa resposta é: - 3 14 2 .

Passo 5

b) Agora ele quer o plano tangente a uma superfície de nível nesse mesmo ponto.

A gente sabe que a superfície de nível tem essa cara:

f x , y , z = k

E para achar a equação do plano, a gente precisa achar o vetor normal n → a essa superfície no ponto dado, fazendo:

f x , y , z - k = 0

F x , y , z = f x , y , z - k

n → = ∇ F ( 2,5 , - 1 )

Só que como a única diferença entre f e F é uma constante k . Podemos dizer que:

n → = ∇ F 2,5 , - 1 = ∇ f 2,5 , - 1

Aí a equação que a gente precisa achar é:

∇ f 2,5 , - 1 ⋅ x - 2 , y - 5 , z + 1 = 0

Passo 6

Da letra a temos que:

∇ f 2,5 , - 1 = 7 14 , 14 14 , - 21 14

Substituindo na equação do plano e rearrumando:

∇ f 2,5 , - 1 ⋅ x - 2 , y - 5 , z + 1 = 0

7 14 , 14 14 , - 21 14 ⋅ x - 2 , y - 5 , z + 1 = 0

7 14 x - 2 + 14 14 y - 5 - 21 14 z + 1 = 0

Multiplicando os dois lados da equação por 14 7 :

x - 2 + 2 y - 5 - 3 z + 1 = 0

x - 2 + 2 y - 10 - 3 z - 3 = 0

Nossa equação fica:

x + 2 y - 3 z = 15

Resposta

a )   ∂ f ∂ z = - 3 14 2

b )     x + 2 y - 3 z = 15

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )