Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 13

Um ponto P se desloca, a partir do ponto - 1 ,   3 , no plano x y . A trajetória de P é parametrizada pela curva

γ t = a e t + b e - t ,   c e t + d e - t ,             t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ ,

onde a , b , c , d são constantes reais. Suponha que a direção e o sentido do vetor tangente à trajetória de P , no instante t = 0 sejam aqueles de maior crescimento da função f x ,   y = x y no ponto - 1 ,   3 . Sabendo que γ ' 0 = 10 , em qual ponto P cruza o eixo O y ?

a) 0 ,   2 2 .

b) 0 ,   2 6 .

c) 0 ,   - 2 2 .

d) 0 ,   - 2 6 .

e) 0 ,   0 .

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI!!!

A trajetória de um ponto P é parametrizada pela curva

γ t = a e t + b e - t ,   c e t + d e - t ,             t ∈ [ 0 ,   + ∞ [

O enunciado diz que a direção e o sentido do vetor tangente a essa curva em t = 0 são aquela de maior crescimento da função f x , y = x y no ponto - 1 ,   3 . Assim, vamos determinar primeiro qual é essa direção!

Sabemos que a direção de maior crescimento de uma função é dada pelo vetor gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Assim, como f x , y = x y :

∇ f x ,   y = ( y ,   x )

Portanto, a direção de maior crescimento de f é

∇ f - 1 ,   3 = 3 ,   - 1

Essa é a direção do vetor tangente a γ em t = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, devemos ter que γ 0 = ( - 1 ,   3 ) e que γ ' 0 seja paralelo a 3 ,   - 1 . A primeira condição nos leva a

γ 0 = a + b ,   c + d = ( - 1 ,   3 ) ⇒ a + b = - 1 c + d = 3

Já para a segunda condição, temos que achar γ ' ( t ) :

γ ' t = a e t - b e - t ,   c e t - d e - t ⇒ γ ' 0 = a - b ,   c - d

Mas antes de qualquer coisa, lembre-se que γ ' 0 = 10 . Sabemos que

γ ' 0 = λ   3 ,   - 1 ⇒ γ ' 0 = λ   3 ,   - 1

Mas

3 ,   - 1 = 9 + 1 = 10

Portanto,

10 = λ   10 ⇒ λ = 1

Com isso,

γ ' 0 = 3 ,   - 1 ⇒ a - b ,   c - d = 3 ,   - 1 ⇒ a - b = 3 c - d = - 1

Temos que resolver dois sistemas:

a + b = - 1 a - b = 3               e               c + d = 3 c - d = - 1

Somando as equações:

2 a = 2                       e                 2 c = 2

Assim,

a = 1 ⇒ b = - 2                   e                 c = 1 ⇒ d = 2

Logo,

γ t = e t - 2 e - t ,   e t + 2 e - t

Passo 3

Queremos achar o ponto em que essa curva corta o eixo O y . Para isso, temos que zerar a coordenada x :

e t - 2 e - t = 0 ⇒ e t = 2 e t ⇒ e 2 t = 2 ⇒ 2 t = ln ⁡ 2

Portanto,

t = 1 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 1 / 2 = ln ⁡ 2

Substituindo isso na coordenada y :

y = e t + 2 e - t = e t + 2 e t = e ln ⁡ 2 + 2 e ln ⁡ 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = 2 2

Assim, a curva γ intercepta o eixo y no ponto

0 ,   2 2

Isso nos leva a alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas