Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 19

Suponha que a função T :   R 2 - 0 ,   0 → R dada por

T x , y = 1 x 2 + y 2

represente uma distribuição de temperatura em R 2 - 0 ,   0 . Considere uma partícula sobre o ponto P = ( 1 ,   2 ) . A direção e o sentido de maior crescimento da temperatura desta partícula são os mesmos do vetor:

a) ( - 1 ,   - 2 ) .

b) ( 1 ,   2 ) .

c) ( - 1 ,   2 ) .

d) ( 1 ,   - 2 ) .

e) ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver mais uma questão de derivada direcional?

O problema forneceu uma função de duas variáveis que representa a temperatura T x , y em cada ponto do R 2 , exceto na origem. O exercício quer saber qual a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P = ( 1 ,   2 ) .

Para isso, você deve lembrar que se uma função é diferenciável, a derivada direcional numa dada direção u → é

∂ T ∂ u → x , y = ∇ T x ,   y ⋅   u →

Assim, essa derivada será máxima se o vetor gradiente for paralelo a u → . Portanto, a direção u → de maior crescimento é a direção do vetor gradiente!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gradiente é dado por:

∇ T x ,   y = ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y

Calculando as derivadas parciais pela regra da cadeia:

∂ T ∂ x = - 1 x 2 + y 2 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2 = - 2 x x 2 + y 2 2

∂ T ∂ y = - 1 x 2 + y 2 2 ⋅ ∂ ∂ y x 2 + y 2 = - 2 y x 2 + y 2 2

Assim,

∇ T x ,   y = - 2 x 2 + y 2 2   x ,   y

Passo 3

Substituindo o ponto P = ( 1 ,   2 ) :

∇ T 1 ,   2 = - 2 1 + 4 1 ,   2 = - 2 5 ( 1 ,   2 )

Esse vetor é paralelo ao vetor

u → = - 1 ,   - 2

Essa é a direção de maior crescimento da função, de modo que a resposta é alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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