Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2008.1 c – 1

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

Passo 1

( a ) Bom, não tem nada que complique a existência da função, logo o domínio é R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

x = 0 f 0 = 0 e - 0 = 0

y = 0 0 = x e - x ; x = 0

Achamos apenas um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

( 0,0 )

Passo 3

( c ) O gráfico não possui simetria, uma vez que e - x não possui qualquer simetria.

Passo 4

( d ) Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando x está tendendo para + e - para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo x :

lim x + x e - x 0

= lim x + x e x L ' H = lim x + 1 e x = 0

lim x - x e - x      

Nesse caso aí, o x vai a - enquanto que e - x   + ...

lim x - x e - x = - + = -

Logo, temos apenas uma assíntota, y = 0 , que é horizontal.

Passo 5

( e ) Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira:

f ' x = x ' e - x + x e - x ' = e - x ( 1 - x )

Bom, se e - x é sempre positivo, como toda exponencial, sabemos que o sinal só depende de ( 1 - x ) . Esse termo é negativo depois de x = 1 e positivo antes.

Assim, f ( x ) é crescente para x < 1 e decrescente para x > 1 .

Passo 6

( f ) Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando f ' x = 0 ou não existe. Nesse caso, sabemos que o ponto onde isso ocorre é x = 1 . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que ele é um ponto de máximo local, não havendo ponto de mínimo local.

Passo 7

( g ) Concavidade é derivada segunda; vamos derivar f ' ( x ) e analisar o sinal de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 1 - x ' e - x + 1 - x e - x ' = e - x ( x - 2 )

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de ( x - 2 ) . Logo, temos concavidade para baixo até x = 2 e para cima daí em diante.

Passo 8

( h ) Juntando as informações: - D o m = R

- I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

- N ã o   h á   s i m e t r i a

-   A s s í n t o t a   e m   y = 0

- f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

- ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

- c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

Esboçando, fica assim.

Resposta

a   R

b   I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

c   N ã o   h á   s i m e t r i a

d   y = 0

( e )   f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

( f )   ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

( g )   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

h F i g u r a   a c i m a

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