Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 3 (Modificada)

Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

E as suas primeira e segunda derivadas.

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

Passo 1

As assíntotas horizontais podem ser encontradas da seguinte forma:

lim x x 2 - 4 x - 12 x + 3

lim x - x 2 - 4 - 12 x + 3

Como ambos limites nos levam a indeterminações do tipo / . Por L’Hospital:

lim x x 2 - 4 x - 12 x + 3 = lim x 2 x - 4 1 =

Analogamente para o outro limite:

lim x - 2 x - 4 = -

Portanto não existem assíntotas horizontais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para as verticais, podemos observar uma descontinuidade em x = - 3 , logo:

lim x - 3 x 2 - 4 x - 12 x + 3 =

Segue que existe a assíntota vertical:

x = - 3

Passo 3

Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente são definidos abaixo:

Crescente = x R     f ' x > 0

Decrescente = x R     f ' x < 0

Portanto, vamos analisar o sinal da derivada:

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

Como o termo no denominador é um quadrado perfeito, não entra na nossa análise de sinal, por ser sempre positivo. Vamos então analisar o sinal de:

x 2 + 6 x

Fatorando:

x ( x + 6 )

E estudando o sinal pela nossa tabela:

Portanto segue que os respectivos intervalos são:

Crescente = - , - 6 0 ,

Decrescente = - 6 ,   0

Passo 4

Em consequência de nossa análise, descobrimos onde a derivada zera, que são os pontos em que x = 0 e x = - 6 . Portanto são pontos críticos e devemos analisá-los.

Em x = 0 , temos que a função passa de decrescente para crescente, portanto é um mínimo.

Em x = - 6 , a função passa de crescente para decrescente, portanto se trata de um máximo.

Como a função cresce arbitrariamente para x muito grande, e decresce arbitrariamente para x muito pequeno, não existe mínimo nem máximo globais.

Portanto x = 0 é um mínimo local e x = - 6 é um máximo local.

Passo 5

Avaliando o sinal da derivada segunda podemos ver o comportamento da função no que tange à sua concavidade.

Cima = x R     f ' ' x > 0

Baixo = x R     f ' ' x < 0 }

Como temos que a nossa derivada segunda é:

f ' ' x = 18 x + 3 3

Só precisamos analisar o sinal de ( x + 3 ) , que é simples:

f ' ' x > 0 x + 3 > 0 x > - 3

f ' ' x < 0 x + 3 < 0 x < - 3

Portanto os intervalos são:

Cima = - 3 ,  

Baixo = - , - 3

Já os pontos de inflexão não existem, pois não conseguimos fazer a derivada segunda zerar:

18 x + 3 3 0

Passo 6

E o esboço do gráfico é, portanto:

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas