4 - Calcule ∫ ∫ R 8 - x - y d x d y , onde R é a região delimitada por y = x 2 e y = 4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma função f e temos que calcular a sua integral dupla na região R , sendo R limitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 .

E aí! Como vamos determinar nossos limites de integração? 🤔

Primeiro de tudo, vamos ver como é as curvas formadas pela região R ?

Plotando as curvas y = x 2 e y = 4 , temos

Assim, conseguimos visualizar a região de integração.

Passo 2

Babemos que o limite superior é dado pela maior curva, ou seja, em y , os limites de integração vão de 4 a x 2 .

Se y = 4 e y = x 2 , x 2 = 4 , logo, os limites de integração em x vai de 2 a - 2 .

Com isso, nossa integral é formada por

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 8 - x - y d y d x

Mas se você encontrou

∫ 0 4 ∫ - y y 8 - x - y d x d y

Relaxa, o resultado será o mesmo, apenas as integrais estão invertidas.

Vamos resolver a primeira integral.

Integrando 8 - x - y com relação a y , pelo método de integração polinomial (dividindo a variável pela potência + 1 e somando 1 no expoente) e lembrando que agora 8 e x se comportam como constantes.

∫ 8 - x - y d y = 8 y - x y - y 1 + 1 1 + 1

∫ 8 - x - y d y = 8 y - x y - y 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ x 2 4 8 - x - y d y = 8 4 - x 4 - 4 2 2 - 8 x 2 - x x 2 - x 2 2 2

∫ x 2 4 8 - x - y d y = x 4 2 + x 3 - 8 x 2 - 4 x + 24

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora com esse resultado, vamos integrar com relação a x pelo mesmo método de integração polinomial.

∫ x 4 2 + x 3 - 8 x 2 - 4 x + 24 d x

Como agora temos um polinômio mais longo, vamos integrar separadamente e junta-los no fim.

∫ x 4 2 d x = x 4 + 1 2 4 + 1 = x 5 10

∫ x 3 d x = x 3 + 1 3 + 1 = x 4 4

∫ 8 x 2 d x = 8 x 2 + 1 2 + 1 = 8 x 3 3

∫ 4 x d x = 4 x 1 + 1 1 + 1 = 2 x 2

∫ 24 d x = 24 x

Juntando tudo no mesmo resultado, temos

∫ x 4 2 + x 3 - 8 x 2 - 4 x + 24 d x = x 5 10 + x 4 4 - 8 x 3 3 - 2 x 2 + 24 x

Agora temos que aplicar os limites de integração.

∫ - 2 2 x 4 2 + x 3 - 8 x 2 - 4 x + 24 d x = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 8 - x - y d y d x

Para o limite superior 2 , temos

2 5 10 + 2 4 4 - 8 2 3 3 - 2 2 2 + 24 2 = 388 15

Para o limite inferior - 2 , temos

- 2 5 10 + - 2 4 4 - 8 - 2 3 3 - 2 - 2 2 + 24 - 2 = - 508 15

Subtraindo o resultado do limite superior e o resultado do limite inferior, temos

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 8 - x - y d y d x = 388 15 - - 508 15

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 8 - x - y d y d x = 896 15

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 8 - x - y d y d x = 896 15

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