Do alto de uma torre de 120 m de altura, uma esfera e lançada com velocidade de 20 m / s numa direção que forma 30 ° com a horizontal, para baixo. Desconsiderando a resistência do ar e admitindo g = 10 m / s , s e n 30 = 0,5 ,   c o s 30 = 0,87 , qual o instante e a distância que a esfera atinge o solo, respectivamente?

Escolha uma opção:

  1. 5 s   e 34,6 m
  2. 4 s   e 34,6 m
  3. 3,46 s   e 34,6 m
  4. 3 s   e 50 m
  5. 3 s   e 30 m
  6. 3,46 s   e 70 m
  7. 4 s e 70 m

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Essa é uma questão de lançamento de projétil. Na direção vertical temos um MRUV, ou seja, o movimento é acelerado (e a aceleração é da gravidade!). Já na direção horizontal não temos aceleração, então é um movimento retilíneo uniforme!

A única variável que é comum aos dois movimentos é o tempo! À medida que a esfera anda na horizontal, ela vai caindo!

A ideia é identificar as quantidades iniciais, escrever as equações de cada um dos movimentos, determinar primeiro o tempo de queda e depois o alcance! Vamos nessa?

Passo 2

Vamos agora identificar as quantidades iniciais: o módulo da velocidade é 20 m / s , e agora precisamos identificar no desenho quem são as componentes vertical e horizontal em relação ao ângulo dado:

O módulo da velocidade é o tamanho do vetor em vermelho no desenho, então podemos fazer um triângulo retângulo com as duas componentes: v 0 x e v 0 y . O cateto oposto ao ângulo dado é a componente vertical, sendo assim podemos escrever essa componente em função do ângulo dado:

v 0 y = v   s e n 30 °

Aqui preciso fazer uma observação: essa velocidade aponta no sentido negativo! A esfera é lançada pra baixo, então v 0 y < 0 . E isso vai aparecer na equação de movimento mais pra frente! Aqui só escrevi o módulo da componente, ok?

E o cateto adjacente está relacionado com a componente horizontal. Esse cateto pode ser reescrito em função do cosseno:

v 0 x = v   c o s 30 °

Beleza até aqui?

Então essas são nossas velocidades iniciais nas direções y e x . A posição inicial vertical é a altura da torre, então:

y 0 = 120 m

E a horizontal? Bom, como queremos depois encontrar o alcance, vou supor que a posição horizontal inicial é zero, pra facilitar nossa vida:

x 0 = 0 m

Lembrando que na direção horizontal não temos aceleração! E que na direção y temos a gravidade! (e ela aponta para baixo!)

Passo 3

Agora vamos escrever as equações de movimento para as duas direções!

Na horizontal temos só a equação de posição em função do tempo, vamos usar a velocidade inicial e a posição inicial que indiquei ali no passo anterior:

x = x 0 + v 0 x t

x = 20 c o s 30   t = 17,4 t

Lembrando que v 0 x = v x , pois no MRU a velocidade não muda com o passar do tempo =)

E para o movimento vertical temos também a equação da posição, usando a posição e a velocidade inicial:

y = y 0 - v 0 y t - g t 2 2

Aqui já coloquei que a gravidade e a velocidade inicial apontam pra baixo! A gravidade sempre aponta para baixo! Já a velocidade inicial pode ser positiva (quando se arremessa a esfera pra cima) ou negativa (que é o nosso caso, ela é jogava verticalmente pra baixo!) , dependendo do problema! Daí você precisa ficar atento nisso, ok?

Agora vamos substituir os valores iniciais:

y = 120 - 20 s e n 30   t - 10 t 2 2

y = 120 - 10 t - 5 t 2

Pronto! Temos as equações de movimento que irão nos dar a posição em função do tempo desse arremesso!

Agora vamos calcular o que se pede!

Passo 4

Para calcular o instante que a bola encosta no chão podemos usar a equação de y ( t ) , pois quando a bola chega no chão y = 0 e queremos saber o instante em que isso acontece. Então precisamos substituir y por 0 na equação do passo anterior e achar o valor de t :

y = 120 - 10 t - 5 t 2

0 = 120 - 10 t - 5 t 2

Essa é uma equação de segunda ordem e vamos aplicar a fórmula de Bhaskara pra resolver para t . Vamos começar dividindo tudo por - 5 , assim vamos ter o coeficiente de t 2 igual a 1 , o que facilita muito nossa vida:

t 2 + 2 t - 24 = 0

Os coeficientes são:

a = 1 ,   b = 2 ,   c = - 24

Lembrando da fórmula...

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t = - ( 2 ) ± 2 2 - 4 . 1 . - 24 2 . 1 = - 2 ± 4 + 96 2 = - 2 ± 100 2

t = - 2 ± 10 2

Aqui temos duas soluções, mas fisicamente a única possível é quando o tempo é positivo:

t = - 2 + 10 2 = 4 s

Assim o tempo que a bola leva para chegar ao chão é 4 s .

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora para achar o alcance horizontal da bola, podemos usar a equação de movimento horizontal! Isso porque quando a bola chega no chão, ela atingiu sua maior distância horizontal e o movimento acaba! Então resgatando a equação x ( t ) lá do passo 3 temos:

x t = x 0 + v 0 x t

x t = 17,4   t

E agora queremos saber essa posição quando t = 4 s :

x 4 = 17,4 .   4 = 69,6   ≅ 70 m

Assim o instante que a bola toca o chão é 4 s e o alcance horizontal é 70 m , alternativa correta é a (g).

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

( g )

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