Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 7,2   k m / h e a da tartaruga de 30   m / m i n . A distância total a percorrer é de 10   k m em linha reta. Depois de 5   m i n a lebre para e tira uma soneca de 200 minutos, e depois acorda e continua com a mesma velocidade anterior de 7,2   k m / h . Deixe todas as respostas em unidades do SI.

a ) Escreva as equações de movimento para a lebre e para a tartaruga.

b ) Desenha as curvas da posição em função do tempo da tartaruga e da lebre (no mesmo gráfico). Quem ganha a corrida?

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O professor desta vez buscou nos dar uma representação física da fábula da tartaruga e da lebre! Então, vamos ver se a tartaruga realmente vai ganhar! Primeiro ele nos dá a velocidade de cada um dos animais, a tartaruga tem a seguinte velocidade constante

v t a r t a r u g a = 30   m / m i n

o valor está em metros por minuto, então vamos ter que convertê-lo para o SI (metros por segundo) posteriormente, belezinha? A velocidade da lebre no entanto, não é constante no tempo, temos que ela inicialmente tem a velocidade

v 0 l e b r e = 7,2   k m / h

mas, após 5 minutos, a lebre tira uma soneca, ou seja, sua velocidade vai a zero por 200   m i n u t o s . Após esta soneca, ela continua a corrida com a sua velocidade inicial! Se o percurso é de 10   k m , a questão é bem direta! Quem ganhou? Nós vamos fazer isso utilizando a forma da equação horária do movimento para velocidade constante, ou seja

x ( t ) = x 0 + v 0 ( t - t 0 )

e, fazer o plot do gráfico para cada uma das curvas! Vem comigo!

Passo 2

A velocidade da tartaruga é constante, portanto, podemos simplesmente aplicar a equação horária do movimento que dei no passo 1 , escolhendo um referencial de forma que x 0 = 0 e t 0 = 0 , e também que v t a r t a r u g a = 30   m / m i n , temos que

x ( t ) = 0 + [ 30   m / m i n ] ( t - 0 ) = 30   t

A equação acima está considerando que t é dado em minutos, vamos converter as unidades para estarmos no sistema internacional de metros por segundos. Se lembrarmos que

1   m i n   =   60   s

podemos substituir em nossa velocidade que

30   m m i n = 30 m 60   s = 0,5   m / s

e, a equação do movimento em unidades do SI é tal que

x t a r t a r u g a ( t ) = 0,5   t

Maravilha! Agora, vamos construir algo parecido para a lebre! Saca só!

Passo 3

A lebre em geral não tem velocidade constante, mas, nos intervalos em que ela está se movendo, sua velocidade é constante. Portanto, podemos dividir a nossa equação do movimento em três partes! Primeiro, temos que

x I ( t ) = x 0 + v 0   l e b r e   ( t - t 0 )

após 5 minutos a lebre irá tirar uma soneca, então a sua equação do movimento será da forma

x I I ( t ) = x 5 +   0   ( t - t 5 ) = x 5

em que x 5 = x I ( t 5   = 5   m i n ) . Após 200 minutos a lebre lembra que está em uma corrida, e portanto, volta a se mover, e sua equação de movimento volta ao formato

x I I I ( t ) = x 205 + v 0   l e b r e   ( t - t 205 )

mas note que x 205 = x I I ( t 205 = 205   m i n )   =   x 5 , já que a lebre não se moveu em todo esse período de tempo! Consegue montar a equação de movimento como um todo usando as informações acima? Bora lá!

Passo 4

Escolhendo o mesmo referencial que a tartaruga, ou seja, x 0 = 0 e t 0 = 0 , temos que

x I ( t ) = 0 + [ 7,2   k m / h ]   ( t - 0 ) = 7,2   t

em que temos que o tempo está indicado em horas! Para estarmos no sistema internacional, vamos lembrar que 1   h o r a   =   60   m i n   = 60 × 60   s e g u n d o s , ou seja, temos

1   h o r a   =   3600   s

e, como temos que 1   k m   =   1000   m , podemos substituir em nossa velocidade para obter

7,2   k m h = 7,2   1000   m 3600   s = 2,0   m / s

Então, no sistema internacional de unidades, temos que a primeira parte da equação de movimento da lebre é

x I ( t ) = 2,0   t

Precisamos construir agora uma equação para os dois outros intervalos! Saca só!

Passo 5

Como discutimos antes, temos que a segunda parte da equação de movimento é tal que

x I I ( t ) = x 5

como temos que x 5 = x I ( t 5 = 5   m i n ) , mas lembre-se que escrevemos x I ( t ) em unidades do SI, portanto, precisamos usar que t = 5   × 60   s   = 300   s . Temos então que

x I I ( t ) = x I ( t 5 = 300   s ) = 2,0   × 300

ou, simplesmente

x I I ( t ) = 600,0   m

esta, é a equação de movimento da segunda parte, note que não depende do tempo, naturalmente, já que a lebre não se moveu no intervalo de tempo que a equação acima tem validade! Agora, para a última parte da equação, temos que

x I I I ( t ) = x 205 + v 0   l e b r e   ( t - t 205 ) = x 205 + 2,0   ( t - 12300 )

Lembrando que x 205 = x 5 = 600 , podemos escrever

x I I I ( t ) = 600,0 + 2,0   ( t - 12300 )

Maravilha! Juntando os três resultados, e usando que t = 205   m i n   =   12300   s temos que a equação de movimento da lebre é

em que t f é o instante de tempo em que a lebre termina os 10   k m   da corrida! Ótimo! Agora é só juntarmos a equação de movimento da tartaruga e da lebre! E, veremos finalmente quem venceu! Bora lá!

Passo 6

O gráfico de ambas as funções em conjunto é o seguinte

A reta verde é o movimento da tartaruga, no que ela alcança x ( t ) = 10000   m em t = 20000   s (reta vertical verde). O movimento da lebre é dado pelo conjunto da pequena reta azul que termina em t = 300   s (primeira reta vertical preta). Então, a soneca da lebre é representada pela reta rosa horizontal, quando esta reta chega em t = 12300   s (segunda reta vertical preta), a lebre começa a se mover novamente. Note, que a reta cinza final representando o movimento da lebre chega em x ( t ) = 10000   m em t = 17000   s , por mais que as fábulas tentem nos dizer, a lebre ainda ganhou da tartaruga!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

As equações de movimento são

x t a r t a r u g a ( t ) = 0,5   t

e,

Pelo gráfico, temos a vitória da lebre!

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