Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 7,2   k m / h e a da tartaruga de 30   m / m i n . A distância total a percorrer é de 10   k m em linha reta. Depois de 5   m i n a lebre para e tira uma soneca de 200 minutos, e depois acorda e continua com a mesma velocidade anterior de 7,2   k m / h . Deixe todas as respostas em unidades do SI.

c ) Em quais instantes a tartaruga e a lebre se cruzam? Quais as posições delas nesses instantes?

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O professor desta vez buscou nos dar uma representação física da fábula da tartaruga e da lebre! Então, vamos ver se a tartaruga realmente vai ganhar! Primeiro ele nos dá a velocidade de cada um dos animais, a tartaruga tem a seguinte velocidade constante

v t a r t a r u g a = 30   m / m i n

o valor está em metros por minuto, então vamos ter que convertê-lo para o SI (metros por segundo) posteriormente, belezinha? A velocidade da lebre no entanto, não é constante no tempo, temos que ela inicialmente tem a velocidade

v 0 l e b r e = 7,2   k m / h

mas, após 5 minutos, a lebre tira uma soneca, ou seja, sua velocidade vai a zero por 200   m i n u t o s . Após esta soneca, ela continua a corrida com a sua velocidade inicial! A corrida é um percurso de 10   k m . Esta alternativa quer os instantes de tempo em que elas se cruzam, e as posições delas nestes instantes de tempo. Ótimo! Nas alternativas anteriores nós construímos as equações horárias de movimento de ambas como

x t a r t a r u g a ( t ) = 0,5   t

e, também que

Apenas com estas informações é possível determinar os pontos de cruzamento e as posições que a alternativa pede! No entanto, nós também obtivemos na alternativa anterior o seguinte gráfico

em que a reta verde inclinada indica o movimento da tartaruga, que chega na linha de chegada x = 10000   m (reta horizontal preta) em t = 20000   s (reta vertical verde). A junção da reta azul, reta rosa e reta cinza, indicam o movimento da lebre, em que as retas verticais pretas indicam o tempo em que ela tira uma soneca! Vamos usar essas informações em nossa questão!

Passo 2

Como vemos no gráfico do passo 1 , a tartaruga e a lebre se interceptam quando a lebre está em sua soneca, ou seja, a reta verde intercepta o segundo intervalo da equação de movimento da lebre. De forma, que para saber em que instante de tempo isso ocorre, precisamos

x t a r t a r u g a ( t ) = x I I   l e b r e ( t )

em que x I I   l e b r e ( t ) é a equação do segundo intervalo da equação de movimento da lebre, dada por

x I I   l e b r e ( t ) = 600,0   ;   s e   300   <   t ≤ 12300

Usando a equação do movimento da tartaruga, temos que

0,5   t   =   600,0

Se isolarmos o tempo, obtemos então que elas se cruzam em

t = 1200   s

em que a lebre está na sua soneca na posição x = 600,0 , e a tartaruga, naturalmente, também! Vamos agora ver a segunda intersecção! Saca só!

Passo 3

Se olharmos o gráfico no passo 1 , vemos que agora é uma ultrapassagem da lebre que está se movendo no terceiro intervalo, portanto, vamos precisar fazer a seguinte igualdade

x t a r t a r u g a ( t ) = x I I I     l e b r e ( t )

em que

x I I I   l e b r e ( t ) = 600,0 + 2,0 ( t - 12300 )   ;   s e   12300   <   t ≤ t f

em que t f é o instante de tempo que a lebre termina a corrida! Usando novamente a equação de movimento da tartaruga, temos que

0,5   t = 600,0   + 2,0 ( t - 12300 ) = 600,0   + 2,0   t - 24600

Isolando o tempo de um lado, e as constantes de outro, temos que

1,5   t = 24000

portanto, isolando o tempo, temos que

t = 16000   s

é o instante em que eles se cruzam. E, usando a equação da tartaruga (por simplicidade), temos que a posição é a seguinte

x = 0,5 × 16000 = 8000   m

que é a posição em que a segunda intersecção acontece! É tartaruga, foi quase dessa vez! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Elas se interceptam nos tempos t = 1200   s e t = 16000   s , nas posições x = 600,0   m e x = 8000   m .

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