Um objeto está se deslocando com velocidade de 20   m / s , no sentido positivo do eixo x , quando passa a sofrer, em t = 0   s , uma aceleração dada por a t = 2 + 0,2 ⋅ t   ( m / s 2 ) , durante 10   s .

e) Calcule o deslocamento do corpo nos primeiros 5 segundos do movimento;

Passo 1

Faaaala galerinhaa do bem, como vocês estão?

E aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos um objeto que se movimenta com aceleração variável. É dito que ele possui, inicialmente:

v 0 = 20   m / s

E que, em t = 0   s passa a atuar uma aceleração dada por:

a t = 2 + 0,2 ⋅ t

Como:

a t = d v d t

Integrando em ambos os lados, no item anterior, conseguimos encontrar que:

v t = 20 + 2 t + 0,1 t 2

Agora o enunciado nos pede para calcular uma calcular o deslocamento para Δ t = 5   s .

Para fazer isso usaremos a outra equação derivada, agora envolvendo a posição e a velocidade:

v t = d x d t

Aí, é só integrar dos dois lados pra calcular x ( t ) .

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, temos que:

v t = d x d t

Se integrarmos em ambos os lados para t de 0 a 5   s , teremos:

∫ 0 5 20 + 2 t + 0,1 t 2 d t = ∫ x 0 x 5 d x

Resolvendo a integral do lado esquerdo, temos:

∫ 0 5 20 + 2 t + 0,1 t 2 d t = 20 t + t 2 + 0,1 t 3 3 0 5

= 20 ⋅ 5 + 5 2 + 0,1 ⋅ 5 3 3

= 100 + 25 + 12,5 3

= 129,167   m

Já no lado direito da integral:

∫ x 0 x 5 d x = x 5 - x 0

Assim:

x 5 - x 0 = 129,167   m

Esse é o deslocamento do objeto nos primeiros 5 segundos do movimento.

Prontinho, gente! Obrigado pela atenção.

Resposta

129,67   m

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