Um trem parte de uma estação com aceleração constante de 0,40   m / s 2 . Um passageiro chega à estação 6,0 segundos depois de o trem ter passado pelo mesmo ponto da plataforma. Qual é a menor velocidade constante que o passageiro deve correr para pegar o trem?

Resolva o problema de duas maneiras:

a) Analiticamente;

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Nessa questão temos um passageiro bem atrasadinho que chega na estação 6   s depois que o trem passou por ela. O enunciado nos fala que o trem parte da plataforma em repouso com uma aceleração constante de 0,4   m / s 2 .

Precisamos calcular a menor velocidade constante que o passageiro deve ter para alcançar o trem.

Para fazer isso, vamos utilizar as equações horárias da cinemática envolvendo os dois tipos de movimento realizados pelos corpos: MRUV e MRU.

No MRU temos as seguintes equações horárias:

v = v 0 + a t s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Já para o MRU, temos:

s = s 0 + v t

Massa!

Agora que já demos essa revisada nas equações, vamos lá! Mãos à obra 😊

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação horária da posição do trem, que como possui aceleração constante, realiza um movimento do tipo MRUV. Ou seja:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

O instante inicial que iremos considerar é quando o passageiro chega a estação. Assim, precisamos calcular tanto a velocidade que o trem possui nesse instante, como a posição que ele já alcançou. Pra calcular a velocidade, como no instante que o passageiro chega à plataforma fazem 6   s que o trem partiu, podemos usar que:

v 0 = 0 + 0,4 ⋅ 6

∴ v 0 = 2,4   m / s

Já para calcular s 0 , vamos usar a mesma ideia, mas através da equação da posição no MRUV:

s 0 = 0 + 0 ⋅ 6 + 0,4 ⋅ 6 2 2

∴ s 0 = 7,2   m

Perfeito! Logo, podemos escrever para a posição do trem, considerando como t = 0 o instante em que o passageiro chega à plataforma:

s = 7,2 + 2,4 t + 0,4 t 2 2

Show de bola!

Já para a posição do passageiro, considerando que a plataforma corresponde à:

s = 0

E, como ele possui velocidade constante, executa um MRU. Temos:

s = v ⋅ t

Tudo beleza até aqui?

Passo 3

Agora, como queremos que o passageiro alcance o trem, essas duas posições precisam se igualar para algum instante t . Assim, vamos igualar as duas equações:

7,2 + 2,4 t + 0,2 t 2 = v t

∴ 0,2 t 2 + 2,4 - v t + 7,2 = 0

Um ponto muito importante é que queremos que a menor velocidade possível para o passageiro conseguir alcançar o trem. Matematicamente, essa condição se expressa na equação acima como tendo apenas uma solução real.

Pensa comigo, se nessa equação do 2 ° grau tivermos duas soluções t > 0 , significa que o passageiro irá alcançar o trem em um instante t 1 , ultrapassa o trem e depois é alcançado novamente pelo trem em um instante t 2 .

Isso significa que ele tinha mais velocidade do que necessário quando alcançou o trem. A condição limite ocorre justamente quando ele apenas alcança o trem em um único instante t 1 , sacaram?

Assim, precisamos ter apenas uma raiz real na equação:

0,2 t 2 + 2,4 - v t + 7,2 = 0

Ou seja, o discriminante precisa ser igual a zero:

2,4 - v 2 - 4 ⋅ 0,2 ⋅ 7,2 = 0

∴ 2,4 - v 2 = 4 ⋅ 0,2 ⋅ 7,2

Logo:

2,4 - v = 4 ⋅ 0,2 ⋅ 7,2

= 2,4

Como precisamos que v seja maior do que a velocidade do trem no instante t = 0 para que haja alguma chance do passageiro alcançá-lo, temos que:

2,4 - v = v - 2,4

Portanto:

v - 2,4 = 2,4

Logo:

v = 4,8   m / s

Essa é a menor velocidade constante que o passageiro precisa assumir pra conseguir alcançar o trem.

E aí, curtiram a solução? Até a próxima pessoal 😊

Resposta

4,8   m / s

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