Uma roda de bicicleta de raio R está rolando sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal. O centro de massa da bicicleta está se movendo com velocidade constante V na direção x positiva. Um chiclete está grudado na borda da roda. Assuma que em t = 0 , o chiclete está localizado no topo da roda da bicicleta, ou seja, r → t = 0 = x 0 i ^ + 2 R j ^ .

Qual é o vetor posição do chiclete r → ( t ) em função do tempo de acordo com um observador parado no chão?

Expresse sua resposta em termos das variáveis do exercício.

Passo 1

Fala aí gente bonita do Responde Aí! Tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma roda de bicicleta com um chiclete grudado nela. Conforme a bicicleta se movimenta transladando, o chiclete se movimenta transladando e rotacionando. Inicialmente, é dito que o chiclete está no topo da bicicleta e o vetor posição é dado por:

r ^ t = 0 = x 0 i ^ + 2 R j ^

Precisamos determinar o vetor posição do chiclete em função do tempo, r → ( t ) .

Gente, o movimento do chiclete é uma composição de duas coisas: a translação da bicicleta e a rotação da roda. Pra determinarmos o vetor posição do chiclete nossa estratégia vai ser dividir o vetor posição como:

r → t = r t → t + r r ��� ( t )

onde o primeiro vetor corresponde à translação e o segundo à rotação. Ou seja, a estratégia aqui é decompor o movimento.

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar analisando o movimento de translação.

O enunciado nos fala que a bicicleta está se movendo com uma velocidade V constante na direção x positiva.

Ou seja, quanto à translação, ela faz um movimento retilíneo uniforme, e a equação horária desse movimento é dada por:

S = S 0 + v ⋅ t

Assim, como em t = 0 o chiclete está em x = x 0 e y = 2 R , temos que:

r t → t = x 0 + V t i ^ + R j ^

Mais na frente vamos entender melhor porque colocamos apenas R na componente em j ^ e não 2 R , beleza?

Perfeito! A primeira parte já foi 😊

Passo 3

Agora vamos pensar um pouco no movimento de rotação. O chiclete está rotacionando em torno da roda. Sempre que queremos descrever um movimento de rotação nas componentes x e y , usamos a seguinte parametrização:

x = R ⋅ c o s ⁡ ( ω t + φ 0 ) y = R ⋅ s e n ( ω t + φ 0 )

onde ω é justamente a velocidade angular de rotação do chiclete, e φ 0 está associado à posição inicial.

Pra calcular ω podemos usar que:

ω = v c m r

No caso da nossa questão, a velocidade do centro de massa é justamente a velocidade de translação. Daí:

ω = V R

E, a posição inicial pode ser calculada com a gente colocando t = 0 . Mas, antes disso, precisamos usar o resultado do passo anterior pra saber quanto vale o vetor r r → ( 0 ) . Se liga só:

r → 0 = r t → 0 + r r → ( 0 )

∴ r r → 0 = x 0 i ^ + 2 R j ^ - x 0 i ^ + R j ^

Logo:

r r → 0 = ( 0 i ^ + R j ^ )

(Foi por isso que no passo anterior colocamos apenas R na componente em J ^ , isso vai nos ajudar a encontrar uma fase inicial φ 0 coerente com as funções trigonométricas 😊).

Daí, vamos ter que nessa componente da rotação:

x 0 =   R c o s ω ⋅ 0 + ϕ 0 = 0

Logo:

ϕ 0 = π 2   o u   3 π 2

Agora em y :

y 0 = R = R ⋅ s e n ( ω ⋅ 0 + φ 0 )

Logo:

ϕ 0 = π 2

Daí, temos:

r r → t = R c o s V R t + π 2 ⋅ i ^ + R ⋅ s e n V R t + π 2 ⋅ j ^

Daí, usando que:

r → t = r r → t + r t → ( t )

Vamos ter que:

r → t =   x 0 + V t i ^ + R j ^ + R c o s V R t + π 2 ⋅ i ^ + R ⋅ s e n V R t + π 2 ⋅ j ^

Ou seja:

r → t = x 0 + V t + R c o s V R t + π 2 i ^ + R 1 + s e n V R t + π 2 ⋅ j ^

Prontinho gente! Conseguimossss!

Valeu pela atenção 😊

Resposta

r → t = x 0 + V t + R c o s V R t + π 2 i ^ + R 1 + s e n V R t + π 2 ⋅ j ^

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