Uma jogadora de futebol chuta uma bola em uma direção de 45 ° com o plano do campo. Depois de 3 s a bola toca o campo novamente. Qual é o alcance da bola? Desconsidere a resistência do ar, considere g = 10 m / s 2 , s e n 45 = c o s 45 = 0,71 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem?! Vamos resolver essa aqui juntos?

Primeiro a gente tem que identificar que essa questão é uma composição de movimentos: MRU na horizontal e MRUV na vertical. Mas como assim?

Bom, a horizontal não fala que temos aceleração, então é porque não temos mesmo! E um movimento sem aceleração é um movimento retilíneo uniforme! A velocidade inicial vai ser a componente horizontal do vetor velocidade e o alcance é a distância percorrida durante o tempo de voo desse bichinho aí!

Já na vertical temos a gravidade, que aponta sempre para baixo, então temos um movimento acelerado. A bola vai subir, atingir uma altura máxima e voltar para o chão. O tempo que ela leva fazendo esse movimento é o tempo de voo, beleza?

A ideia para resolver essa questão é identificar que o tempo de voo (que nos foi dado) é o mesmo tempo que a bola leva para subir e descer, mas também o tempo que ela tem para se deslocar horizontalmente!

E, com as equações de movimento vertical e horizontal, achar o alcance da bola!

Calma que vou fazer passo a passo contigo! Segura minha mão e vem comigo!

Passo 2

Vamos lembrar qual é a equação da posição em função do tempo no MRU:

x ( t ) = x 0 + v x t

Quando t = 3 temos que a distância horizontal percorrida é igual ao alcance da bola A , e admitindo que a bola parta da origem x 0 = 0 :

A = v x t

No nosso caso, a velocidade v x vai ser a componente horizontal do vetor velocidade. Para achar ela em função do ângulo dado, dá uma olhada na trajetória dessa bolinha:

E a gente pode desenhar um triângulo retângulo com as componentes e o módulo do vetor:

A componente horizontal é o cateto adjacente do triângulo que se forma com v x ,   v y e   v , então ela vai com o cosseno do ângulo. Já a componente vertical é o cateto oposto, então ela vai com o seno.

Assim o alcance da bola é:

A = v   c o s 45   t

Sabemos o tempo, mas não sabemos a velocidade inicial.

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos olhar para o movimento na vertical e tentar achar outra equação que nos ajude para achar esse alcance aí!

Sabemos que o tempo de voo é de 3 s , então sabemos que o tempo que a bolinha sai do chão, ou seja y 0 = 0 , até chegar de novo no chão y = 0 , é 3 s . Então temos duas informações de posição e tempo! Da equação de posição pro MRUV temos o seguinte:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

A aceleração da gravidade sempre aponta para baixo, por isso o sinal de ali na equação. A velocidade inicial está relacionada com o cosseno, como falei ali no passo anterior. Então temos quase todos os valores, menos a.... velocidade! Isso mesmo! Daqui a gente consegue determinar qual é o módulo da velocidade! E daí com esse valor, a gente volta pra equação do alcance e acha ele! Beleza? Vamos lá?

Substituindo os valores temos:

y = y 0 = 0

t = 3

g = 10

v 0 y = v   s e n 45

E daí a equação fica:

0 = 0 + v s e n 45   . t - 5 t 2

v   s e n   45 = 5 t

v = 5 t s e n 45 = 5.3 0,71 = 21,12 m / s

Passo 4

Agora com o valor da velocidade, é só resgatar do passo 2 a expressão para o alcance e substituir os valores:

A = v   c o s 45   t

A = 21,12   .   0,71   .   3 = 45 m

Pronto! O alcance da bola foi de 45 m !

Beleuza?

Resposta

45 m

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