Um objeto, partindo do repouso em t = 0   s , está se deslocando com velocidade v t = t 4 - t     ( m / s ) , ao longo do eixo x . Nestas condições, pede-se:

c) O tempo que ele leva para voltar à mesma posição, sabendo que partiu, em t = 0   s , da posição x 0 ;

Passo 1

Ooii gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um objeto que parte do repouso, ou seja:

v 0 = 0

E que se desloca com velocidade:

v t = t 4 - t   ( m / s )

Precisamos calcular em que instante ele volta à mesma posição inicial, se essa posição inicial é dada por x 0 .

Pra responder a essa pergunta vamos usar a equação integrada da posição, x ( t ) , em função de v ( t ) :

x t - x 0 = ∫ v t d t

Como queremos que o objeto volte à posição inicial, devemos ter:

x t = x 0 = x 0

Ou seja, queremos encontrar o tempo t tal que:

∫ v t d t = 0

Vamo nessa!

Passo 2

Queremos calcular o tempo tal que:

∫ v t d t = 0

Vamos desenvolver a integral do lado esquerdo. Temos:

∫ 0 T 4 t - t 2 d t

onde T é o instante em que o objeto volta à posição inicial:

= 2 t 2 - t 3 3 0 T

= 2 T 2 - T 3 3  

Essa expressão precisa ser nula, assim:

2 T 2 - T 3 3 = 0

∴ 2 T 2 = T 3 3

De fato, t = T = 0   s é solução, pois o corpo encontra-se exatamente em x 0 = x 0 . Mas, essa é a solução trivial, vamos considerar então que T ≠ 0 .

2 T 2 = T 3 3

∴ T = 6   s

Portanto, quando t = 6   s o objeto passa novamente pelo ponto inicial.

Resposta

6   s

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