Um objeto, partindo do repouso em t = 0   s , está se deslocando com velocidade v t = t 4 - t     ( m / s ) , ao longo do eixo x . Nestas condições, pede-se:

d) A distância total percorrida nos 6   s do movimento.

Passo 1

Faaaaala galera, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão temos um objeto que parte do repouso, ou seja:

v 0 = 0

E que se desloca com velocidade:

v t = t 4 - t   ( m / s )

Queremos calcular a distância total percorrida pelo objeto nos 6   s do movimento.

Pra calcular a distância total, não estamos nos importando com o sinal do movimento. Ou seja, se é um movimento no sentido positivo do eixo x , ou no sentido negativo.

Por isso, precisamos tomar as velocidades sempre como positivas pra calcular as distâncias:

d x = v t d t

Integrando:

Δ x =   ∫ v t d t

Como a nossa função velocidade assume valores positivos e negativos em 0 ≤ t ≤ 6   s , precisamos separar a integral em duas partes.

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Vamos começar analisando onde a nossa função velocidade assume valores positivos e negativos.

Temos:

v t = t 4 - t

Temos um produto em que um dos termos é sempre positivo ( t ) , então para que ele seja positivo basta que o segundo termo seja positivo, e para que o produto seja negativo a mesma coisa.

4 - t > 0

∴ t < 4

Portanto:

t < 4 ⇒ v t > 0

4 < t < 6 ⇒ v t < 0

Assim, podemos montar a nossa integral pra calcular a distância total percorrida como sendo:

Δ x =   ∫ 0 4 t 4 - t d t + ∫ 4 6 - t 4 - t d t

Teremos:

Δ x =   ∫ 0 4 ( 4 t - t 2 ) d t - ∫ 4 6 4 t - t 2 d t

= 2 t 2 - t 3 3 0 4 - 2 t 2 - t 3 3 4 6

= 2 ⋅ 4 2 - 4 3 3 - 2 ⋅ 6 2 - 6 3 3 - 2 ⋅ 4 2 - 4 3 3

= 2 ⋅ 32 3 - 72 - 216 3

Logo:

Δ x = 64 3   m  

Resposta

64 3   m

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