Exercícios Resolvidos de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

USP – Física 1 – 2020 – P-SUB – Discursiva

Q 3 - Uma partícula desloca-se em movimento retilíneo sobre o eixo x . Sabe-se que no instante t   =   0   s ela encontra-se em x = 10   m e sua velocidade v em função do tempo t é dada por

v t = 2 + 12 t - 6 t 2         0 ≤ t ≤ 2 10 - 4 t                                 2 ≤ t ≤ 6

onde as unidades estão no SI. Podemos afirmar que no instante t = 4,0   s , sua posição, em metros, é:

Passo 1

Vem comigo e vamos juntos resolver essa questão!

O problema nos deu como a velocidade de uma partícula se comporta no tempo e pediu para encontrarmos a posição da partícula em t = 4   s .

Para encontrarmos essa posição temos que saber o deslocamento da partícula, para isso podemos usar o fato de que:

v ( t ) = d x d t

Então:

d x = v ( t ) d t

Integrando do lado esquerdo de x 0 até x f e do lado direito de t 0 até t f , temos que:

Δ x = ∫ t 0 t f v t d t

Onde Δ x é o deslocamento da partícula. Como v ( t ) se comporta de forma diferente nos intervalos de tempo 0 ≤ t ≤ 2 e 2 ≤ t ≤ 6 , teremos que:

Δ x = ∫ 0 2 v t d t + ∫ 2 4 v t d t

A segunda integral só vai a até t = 4   s porque o enunciado só quer a posição até esse instante.

Vamos as contas então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo as funções da velocidade v ( t ) nas integrais temos o seguinte:

Δ x = ∫ 0 2 ( 2 + 12 t - 6 t 2 ) d t + ∫ 2 4 ( 10 - 4 t ) d t

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a de 0 ≤ t ≤ 2   s , temos:

∫ 0 2 ( 2 + 12 t - 6 t 2 ) d t

= ∫ 0 2 2   d t + ∫ 0 2 12 t   d t - ∫ 0 2 6 t 2   d t

= 2 t 0 2 + 12 t 2 2 0 2 - 6 t 3 3 0 2

= 4 - 0 + 24 - 0 - 16 + 0 = 12   m

Passo 3

Agora vamos resolver a integral de 2 ≤ t ≤ 4   s , temos:

∫ 2 4 ( 10 - 4 t ) d t

= ∫ 2 4 10   d t - ∫ 2 4 4 t   d t

= 10 t 2 4 - 4 t 2 2 2 4

= 40 - 20 - 32 + 8 = - 4   m

Agora que temos o resultado das duas integrais, temos que o deslocamento Δ x é dada por:

Δ x = 12 - 4 = 8   m

Então se a posição inicial da partícula em t = 0 era x = 10   m e ela teve um deslocamento de 8   m até t = 4   s , então sua posição nesse estante é:

x f = 10 + 8 = 18   m

E com isso fechamos a questão com sucesso!

Resposta

x f = 18   m

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