Um objeto está se deslocando com velocidade de 20   m / s , no sentido positivo do eixo x , quando passa a sofrer, em t = 0   s , uma aceleração dada por a t = 2 + 0,2 ⋅ t   ( m / s 2 ) , durante 10   s .

d) Determine a expressão da posição x t ,   sabendo que em t = 3   s o corpo está passando pela posição 10   m .

Passo 1

E aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos um objeto que se movimenta com aceleração variável. É dito que ele possui, inicialmente:

v 0 = 20   m / s

E que, em t = 0   s passa a atuar uma aceleração dada por:

a t = 2 + 0,2 ⋅ t

Como:

a t = d v d t

Integrando em ambos os lados, conseguimos encontrar que:

v t = 20 + 2 t + 0,1 t 2

Agora o enunciado nos pede para calcular uma expressão para a posição x t sabendo que:

x 3 = 10   m

Para fazer isso usaremos a outra equação derivada, agora envolvendo a posição e a velocidade:

v t = d x d t

Aí, é só integrar dos dois lados pra calcular x ( t ) .

Vamo nessa!

Passo 2

Temos:

v t = 20 + 2 t + 0,1 t 2

Então:

20 + 2 t + 0,1 t 2 = d x d t

Integrando dos dois lados temos:

∫ 20 + 2 t + 0,1 t 2 d t = ∫ d x

∴ 20 t + t 2 + 0,1 t 3 3 = x t + C

Para retirar essa constante usamos o dado do enunciado:

x 3 = 10   m

Então:

20 ⋅ 3 + 3 2 + 0,1 ⋅ 3 3 3 = x 3 + C

= 10 + C

Logo:

69,9 = 10 + C

⇒ C = 59,9

Portanto, ficamos com a seguinte expressão para x ( t ) :

x t = 20 t + t 2 + 0,1 t 3 3 + 59,9

Excelente pessoal!

É isso aí, até a próxima 😊

Resposta

x t = 20 t + t 2 + 0,1 t 3 3 + 59,9

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