Calcule as integrais:

(b) ∭ E y 2 d x d y d z , onde E é a parte da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 contida no primeiro octante.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região B , que é uma parte da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 no primeiro octante. Ou seja, é uma parte dessa esfera aí:

Então, temos uma esfera de raio menor ou igual a 1 e nada mais justo que usar as coordenadas esféricas pra nos ajudar, certo? Elas são dadas pelas relações:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

No caso da esfera, ela vai ser escrita por:

E s f e r a = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ a ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π

Onde a é o raio da esfera, então para a bola B , vamos ter ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ ϕ ≤ π 2 . Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.

∭ B y 2 d x d y d z

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, y 2 , e colocar ele em coordenadas esféricas:

y 2 = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2

Elevando ao quadrado:

= ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora podemos montar nossa integral:

∭ B y 2 d x d y d z

Usando B = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ ϕ ≤ π 2 e o integrando que encontramos no passo anterior, junto com o Jacobiano J = ρ 2 sin ⁡ ϕ , temos:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 4 sin 3 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ   d ρ d θ d ϕ

Integrando primeiro em relação a ρ :

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ρ 5 5 0 1 sin 3 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ d θ d ϕ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 1 5 - 0 5 sin 3 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ d θ d ϕ

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 1 5 sin 3 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ d θ d ϕ

Passo 4

Vamos colocar a constante do lado de fora da integral e integrar em relação a θ :

1 5 ∫ 0 π / 2 sin 3 ⁡ ϕ ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ d θ d ϕ

Antes de integrar, vamos substituir a identidade sin 2 ⁡ θ = 1 2 - 1 2 cos ⁡ ( 2 θ ) :

= 1 5 ∫ 0 π / 2 sin 3 ⁡ ϕ ∫ 0 π 2 1 2 - 1 2 cos ⁡ ( 2 θ ) d θ d ϕ

Integrando:

1 5 ∫ 0 π / 2 sin 3 ⁡ ϕ θ 2 - 1 4 sin ⁡ 2 θ 0 π / 2 d ϕ

Aplicando os limites de integração em θ :

1 5 ∫ 0 π / 2 sin 3 ⁡ ϕ π / 2 2 - 1 4 sin ⁡ 2 ∙ π 2 - 0 2 + 1 4 sin ⁡ 2 ∙ 0 d ϕ

1 5 ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ ϕ π 4 - 0 d ϕ

= π 20 �� 0 π / 2 sin 3 ⁡ ϕ d ϕ

Passo 5

Agora, antes de integrar em relação a ϕ , vamos precisar fatorar nosso integrando e usar a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ :

π 20 ∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ d ϕ = π 20 ∫ 0 π / 2 ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) sin ⁡ ϕ d ϕ

Isso vai facilitar pra gente integrar usando a substituição:

u = cos ⁡ ϕ → d u = - sin ⁡ ϕ d ϕ

Fica assim:

π 20 ∫ 0 π / 2 - 1 + u 2 d u

Aí já dá pra gente integrar usando as regrinhas do polinômio:

= π 20 - u + u 3 3 0 π / 2

Antes de aplicar o intervalo, precisamos voltar pra nossa variável original ϕ :

π 20 - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π / 2

Agora sim, aplicando os limites de integração em ϕ :

π 20 - cos ⁡ π 2 + cos 3 ⁡ π 2 3 + cos ⁡ 0 + cos 3 ⁡ ( 0 ) 3

π 20 - 0 + 0 + 1 - 1 3

= π 20 2 3

= π 30

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 30

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