Calcule as integrais:

(c) ∭ E x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z , onde E é a região interior ao cone ϕ = π 6 e à esfera �� = 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região E , que é interior cone ϕ = π 6 e à esfera de raio ρ = 2 . Então, vamos precisar das coordenadas esféricas, que são dadas pelas relações:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Como a região é interior ao cone, ela vai variar de 0 até ϕ = π 6 . A mesma coisa pra esfera, porque nosso raio tá variando de 0 até ρ = 2 . Como o ângulo θ não tem restrições, ele vai variar de 0 a 2 π . Então, nossa região é dada por:

E = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π 6

Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.

∭ E x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, x 2 + y 2 + z 2 , e colocar ele em coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2

Elevando ao quadrado:

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ

Colocando ρ 2 em evidência e agrupando os termos:

ρ 2 ( sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ )

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ )

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

E a gente pode aplicar a identidade novamente, sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 . Então, temos:

ρ 2 1 = ρ 2 = ρ

Passo 3

Agora podemos montar nossa integral:

∭ E x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Usando E = ρ ,   θ ,   ϕ |   0 ≤ ρ ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π 6 e o integrando que encontramos no passo anterior, junto com o Jacobiano J = ρ 2 sin ⁡ ϕ , temos:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 3 sin ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Integrando primeiro em relação a ρ :

∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ρ 4 4 0 2 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π 2 4 4 - 0 4 4 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π 16 4 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π 4 sin ⁡ ϕ d θ d ϕ

Passo 4

Vamos colocar a constante do lado de fora da integral e integrar em relação a θ :

4 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ϕ ∫ 0 2 π d θ d ϕ

Integrando:

4 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ϕ θ 0 2 π d ϕ

Aplicando os limites de integração em θ :

4 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ϕ 2 π - 0   d ϕ

8 π ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ϕ   d ϕ

Integrando em relação a ϕ :

8 π - cos ⁡ ϕ 0 π / 6

Agora aplicando os limites de integração em ϕ :

8 π - cos ⁡ π 6 + cos ⁡ 0

8 π - 3 2 + 1

= 4 π 2 - 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 π 2 - 3

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