Exercícios Resolvidos de Série alternada

Passo 1

Vamos olhar para o primeiro caso:

∑ a n n

Vamos usar o teste da comparação. Perceba que:

a n > a n n

Para n > 1 . Então, temos que a nossa série é sempre (a partir do a 1 ) menor que uma série convergente. Então, ela também é convergente. VERDADEIRO.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, considerando o segundo caso:

∑ n a n

Vamos pensar em ∑ a n como uma p-série com p = 2 . A gente já viu que para p > 1 a série converge e para p ≤ 1 a série diverge. Então vamos lá:

∑ a n = ∑ 1 n 2

∑ n a n = ∑ n n 2 = ∑ 1 n

Aquele último termo é uma série harmônica, que a gente já viu que diverge. Logo, FALSO.

Passo 3

Olhando pro terceiro caso, temos:

∑ a n

Novamente, vamos pensar numa p-série com p = 3 / 2 . A gente já viu que para p > 1 a série converge e para p ≤ 1 a série diverge. Então vamos lá:

∑ a n = ∑ 1 n 3 / 2

∑ a n = ∑ 1 n 3 / 2 1 / 2 = ∑ 1 n 3 / 4

Aquele último termo é uma p-série com p = 0,75 , que diverge. Logo, FALSO.

Passo 4

Quarto caso:

∑ n - 1 n a n

Vamos usar o teste da comparação, sabendo que:

n - 1 n a n = a n - 1 n a n

Ou seja, você tem sempre o termo geral, só que está subtraindo uma parcela. Então, na pior das hipóteses, quando n → ∞ , o termo geral tende a a n . Portanto:

a n - 1 n a n ≤ a n

∑ n - 1 n a n ≤ ∑ a n

Logo, convergente também. VERDADEIRO.

Passo 5

Finalmente, vamos ao último caso:

∑ a n c o s ⁡ ( n )

Cara, tendo em vista que:

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

a n cos ⁡ n ≤ a n

Pensa comigo: se o máximo que o c o s ⁡ ( n ) pode atingir é 1 , na pior das hipóteses a n cos ⁡ n = a n

Com isso, temos que o termo da nossa série é sempre menor ou igual a um termo de uma série que converge. Portanto, a nossa converge também. VERDADEIRO.

Resposta

O segundo e o terceiro caso são falsos, os demais casos são verdadeiros.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas