Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

a ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 sen ⁡ 1 n

Passo 1

Vamos começar vendo a convergência da série em módulo:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 sen ⁡ 1 n = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n

Usaremos o teste da comparação no limite, ok? Temos que:

a n = sen ⁡ 1 n

E vamos escolher:

b n = 1 n

Vamos calcular o limite da razão entre esses termos e se obtivermos um número maior que zero e diferente de infinito, ou as duas convergem ou as duas divergem.

lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n 1 n = 1

Como ∑ b n é a série harmônica e sabemos que ela diverge, isso significa que o módulo da nossa série também diverge.

Passo 2

Para analisar a convergência da nossa série, vamos usar o teste da série alternada, ok? Vamos lembrar dele rapidamente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

“A série é convergente se lim n → ∞ ⁡ b n = 0 e b n + 1 < b n

Bom, então vamos à luta:

lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n = 0

Para ver se esse termo é decrescente, vamos calcular a derivada dele. Façamos:

f x = sen ⁡ 1 x

f ' x = - cos ⁡ 1 x 1 x 2

Queremos que a derivada seja negativa sempre a partir de um certo ponto, sendo que:

- cos ⁡ 1 x 1 x 2 < 0 ,   ∀ x > 2 π

Então, pelo teste da série alternada, a série é convergente.

Logo, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1