Considere as séries:

I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 / 2 + cos ⁡ n n 3

I I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n n 2 + 1

I I I   ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ! 5 n

Podemos afirmar que convergem absolutamente:

a) Apenas (I) e (II).

b) Apenas (I) e (III).

c) Apenas (II) e (III).

d) Todas as séries (I), (II), e (III).

e) Apenas (II).

Passo 1

Prontos para mais uma questão de prova da POLI! Vamos juntos que o RespondeAi vai ajudar vocês!

O enunciado forneceu três séries alternadas e quer saber quais delas convergem absolutamente. Para isso, você deve lembrar que se ∑ a n é uma série, ela vai convergir absolutamente se a série ∑ a n for convergente.

Nesse caso, todas as séries são do tipo

∑ - 1 n   b n

Assim, para estudarmos a convergência absoluta dessas séries, temos que considerar as séries do tipo

∑ b n

A primeira série é

I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 / 2 + cos ⁡ n n 3

Para estudar a convergência absoluta dessa série, temos que considerar

∑ n = 1 ∞ 1 2 + cos ⁡ n n 3

Sabemos que

cos ⁡ n ≤ 1

Pela desigualdade triangular:

1 2 + cos ⁡ n ≤ 1 2 + cos ⁡ n

Juntando as duas relações:

1 2 + cos ⁡ n ≤ 1 2 + 1 = 3 2

Portanto,

1 2 + cos ⁡ n n 3 ≤ 3 2 n 3

Passo 2

Agora vamos olhar para uma outra série:

∑ n = 1 ∞ 3 2 n 3

Esse é uma p-série com p = 3 > 1 . Portanto, ela é uma série convergente! Assim, como

∑ n = 1 ∞ 1 2 + cos ⁡ n n 3 ≤ ∑ n = 1 ∞ 3 2 n 3

pelo teste da comparação, como a maior série converge, a menor também vai convergir! Com isso, a série (I) é absolutamente convergente!

Passo 3

Agora vamos olhar para a segunda série:

I I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n n 2 + 1

Para estudar a convergência absoluta, temos a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Sabemos que

n 2 + 1 > n 2 ⇒ n n 2 + 1 > n ⋅ n 2 = n 3

Portanto,

1 n ( n 2 + 1 ) < 1 n 3 ⇒ 1 n ( n 2 + 1 ) < 1 n 3 / 2

Com isso,

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

Mas a série da direita (maior) é uma p-série com p = 3 2 > 1 . Sabemos que ela é convergente! Pelo teste da comparação, a série da esquerda (menor) também será convergente! Com isso, a série (II) também é absolutamente convergente!

Passo 4

Por fim, vamos olhar para a última série

I I I   ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ! 5 n

Para analisar a convergência absoluta:

∑ n = 2 ∞ n ! 5 n

O termo geral dessa série é

a n = n ! 5 n

Vamos usar o teste da razão:

a n + 1 a n = n + 1 ! 5 n + 1 ⋅ 5 n n ! = n + 1   n ! 5 n 5 n ⋅ 5 ⋅ n ! = n + 1 5

Fazendo n → ∞ :

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 5 = + ∞

Com isso, pelo teste da razão, como L → ∞ > 1 , a série é divergente. Portanto, a série (III) não é absolutamente convergente.

Desta forma, a resposta está na alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1