Exercícios Resolvidos de Série alternada

Decidir se a série dada coverge ou não. Em caso afirmativo, dizer se a convergência é absoluta ou condicional.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n 3 n

Passo 1

Vamos começar olhando a série com os termos em módulo, que se ela for absolutamente convergente, temos a nossa convergência.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 3 n

Vamos matar essa questão utilizando o critério da integral, com f x = ln ⁡ x 3 x .

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Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é decrescente:

f ' x = 1 x ⋅ x - ln ⁡ x 3 x 2 =   1 - ln ⁡ x 3 x 2  

Logo:

f x é decrescente para x > 3 e . Vamos agora aplicar o teste da integral.

Passo 3

Vamos agora ao teste da integral:

∫ 10 ∞ f ( x ) d x = ∫ 10 ∞ ln ⁡ x 3 x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 10 a ln ⁡ x 3 x d x  

Começando com a integral em a

∫ 10 a ln ⁡ x 3 x d x

Substituindo: u = ln ⁡ x 3 e d x = x d u , então:

x = a → u = ln ⁡ a 3

x = 10 → u = ln ⁡ 10 3

Então, nossa integral vai ficar

∫ 10 a ln ⁡ x 3 x d x =   ∫ ln ⁡ 10 / 3 ln ⁡ a / 3 u d u = u 2 2 u = ln ⁡ 10 / 3 ln ⁡ a / 3 = ln ⁡ a 3 2 2 - ln ⁡ 10 3 2 2

Fazendo o limite agora

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a 3 2 2 - ln ⁡ 10 3 2 2 = ∞ 2 - ln ⁡ 10 3 2 2 = ∞

Como ele não tende a zero a série não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, como a nossa série inicial

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n 3 n

É uma série alternada, podemos usar o Critério de Leibniz.

Precisamos ver se essa função é decrescente e se o termo geral da sére vai a zero, certo?

Vamos primeiro ver se o termo geral tende a zero:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 3 n

Aplicando l’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 3 n = 3 n ⋅ 1 3 1 = 0

Show, agora já vimos que o temo geral vai ser decrescente. Fizemos isso no teste da Integral ali em cima.

Então a série converge condicionalmente.

Resposta

Converge Condicionalmente.

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