Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas

n )       S e   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n 2   c o n v e r g e

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos ou confirmar ou dar um contraexemplo nessa afirmação aqui

Se   ∑ n = 1 ∞ a n   converge absolutamente, então   ∑ n = 1 ∞ a n 2 converge

Para uma série ser convergente absolutamente, ela precisa passar pelo Teste da Razão para Convergência Absoluta

Supondo uma série do tipo ∑ - 1 n a n , fazendo

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Dizemos que ela é convergente quando:

ρ < 1

E se agora elevarmos ao quadrado o termo geral? será que essa convergência sobrevive?

Vamos usar o teste da razão, juntamente com algumas propriedades legais dos limites e mostrar se essa afirmativa está correta ou não

Mas pode ficar sossegado, vou fazer passo a passo com você! bora lá?

Passo 2

Nossa série é essa aqui

∑ n = 1 ∞ a n

Como ela converge absolutamente, podemos afirmar que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Agora o problema afirma que se trocarmos a n → a n 2 a série resultante também irá convergir

Será que isso acontece?

Vamos chamar o novo termo geral de b n

b n = a n 2

Assim

b n + 1 = a n + 1 2

Daí pelo teste da razão precisamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n

Mas em termos de a n e a n + 1 temos o seguinte

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 2 a n 2 = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n 2

Tudo certinho até aqui?

Passo 3

E agora? Agora vem aquele truque sujo que você só encontra aqui! #ALERTATRUQUESUJO

Vamos relembrar de algumas propriedades dos limites:

  • Propriedade da soma/subtração
  • lim x ⁡ A ± B = lim x ⁡ A ± lim x ⁡ B

  • Propriedade do produto/quociente

lim x ⁡ A . B = lim x ⁡ A . lim x ⁡ B             o u           lim x ⁡ A B = lim x ⁡ A lim x ⁡ B

E por fim, a propriedade da potência

lim x ⁡ A n = lim x ⁡ A n  

A potência pode ir para fora do limite!

Assim nosso limite fica

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n 2 = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n 2

E sabemos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Todo número menor do que 1 , quando elevado ao quadrado, sempre resulta em um número menor do que 1 também! (você pode pensar no 1 2 , 1 3 ,...)

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n ⏝ < 1 2 < 1

Portanto se ∑ a n converge absolutamente, então ∑ a n 2

Também converge!

Então a afirmativa é verdadeira

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

v e r d a d e i r o

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1