Encontre a série de Maclaurin da função f ( x ) = s e n ( 3 x ) usando a definição da série de Maclaurin. Encontre o intervalo de convergência associado. Suponha que f tenha expressão em uma série de potências e não mostre que R n ( x ) → 0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos dá a seguinte função

f ( x ) = s e n ( 3 x )

e, precisamos encontrar a sua série de Maclaurin, assim como encontrar o intervalo de convergência associado! Antes de discutir a questão da convergência, precisamos saber qual é o formato da série de potências. Como fazemos isso? A série de potências por Maclaurin é obtida escrevendo a seguinte série

f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ d n f ( x ) d x n | x = 0 x n

O segredo será calcular alguns termos e ver se obtemos um padrão que possamos identificar como a nossa série! No entanto, podemos por simplicidade usar uma versão mais simples de nossa função! Saca só!

Passo 2

Só por uma questão de simplicidade, ao invés de usarmos f ( x ) = s e n ( 3 x ) , vamos fazer as contas para

g ( x ) = s e n ( x )

O resultado terá o mesmo formato, só iremos precisar mudar o x por 3 x no final! Vamos lá! O primeiro termo da série de Maclaurin ( n = 0 ) , é simplesmente a função avaliada em x = 0 , temos que

a 0 = s e n ( 0 ) = 0

Para o segundo termo ( n = 1 ) , precisamos calcular a primeira derivada e avaliar o resultado em x = 0 , temos que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

em x = 0 , temos que

a 1 = c o s ( 0 ) = 1

Precisamos fazer isso para mais alguns termos antes de percebermos a relação desejada! Vem comigo!

Passo 3

Para ( n = 2 ) , temos a segunda derivada avaliada em x = 0 , então

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

em x = 0 , obtemos que

a 2 = - s e n ( 0 ) = 0

Vou fazer mais um e justificar o formato que irei utilizar! Vamos lá! Para ( n = 3 ) , temos a terceira derivada em x = 0 , portanto

d d x [ - s e n ( x ) ] = - c o s ( x )

em x = 0 , temos que

a 3 = - c o s ( 0 ) = - 1

O que podemos notar? Primeiro, apenas os termos ímpares serão não-nulos, já que todos os termos pares serão termos de seno avaliados em x = 0 . E, devido a derivada do cosseno gerar um sinal negativo, teremos uma alternância de sinal para cada coeficiente! Sendo assim, podemos escrever a nossa série de potências como

g ( x ) ≈ ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m x 2 m + 1

O 2 m + 1 garante que para todo m teremos apenas valores ímpares nas potências de x , e ( - 1 ) m nos dará a alternância de sinal! Vamos usar isso para escrever a nossa série desejada e então analisar a convergência! Bora lá!

Passo 4

Como disse anteriormente, para obtermos a relação desejada, precisamos substituir x por 3 x , temos então que a nossa série de potência é na verdade

f ( x ) ≈ ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 x ) 2 m + 1 = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 x 2 m + 1

Agora, será que esta série é convergente? Temos acima uma série alternada, mas também uma série que tem um termo da forma 3 2 m + 1 , portanto, será conveniente utilizar o teste da razão para estudarmos o nosso intervalo de convergência, temos que o teste é da forma

l i m m → ∞ | a m + 1 a m | = L

em que a m é o termo identificado em

∑ m = 0 ∞ a m

Se o limite resultar em L < 1 , a série é convergente, se L > 0 , temos uma série divergente, se L = 1 , podemos dizer nada! Então, vamos encontrar um intervalo em x para que L seja menor que 1 . Bora lá!

Passo 5

Como podemos identificar que

a m = ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 x 2 m + 1

E, então podemos escrever que

a m + 1 = ( - 1 ) m + 1 ( 3 ) 2 ( m + 1 ) + 1 x 2 ( m + 1 ) + 1 = ( - 1 ) m + 1 3 2 m + 2 x 2 m + 2

Temos então que nosso limite tem a forma

l i m m → ∞ | ( - 1 ) m + 1 3 2 m + 2 x 2 m + 2 ( - 1 ) m 3 2 m + 1 x 2 m + 1 | = L

Por sorte podemos expandir os termos no numerador da seguinte maneira, temos que ( - 1 ) m + 1 = ( - 1 ) m ( - 1 ) 1 , e também que 3 2 m + 2 = 3 2 m + 1 3 1 , assim como x 2 m + 2 = x 2 m + 1 x 1 , de forma, que podemos simplificar o denominador e numerador para obter

l i m m → ∞ | ( - 1 ) m + 1 3 2 m + 2 x 2 m + 2 ( - 1 ) m 3 2 m + 1 x 2 m + 1 | = l i m m → ∞ | ( - 1 ) m ( - 1 ) 1 3 2 m + 1 3 1 x 2 m + 1 x 1 ( - 1 ) m 3 2 m + 1 x 2 m + 1 | = l i m m → ∞ | ( - 1 ) ( 3 ) x |

Como temos o módulo da relação acima, o sinal de menos pode ser ignorado, temos simplesmente que

l i m m → ∞ | 3 x | = L

Agora, só precisamos achar condições para que L < 1 , e temos o nosso intervalo de convergência! Vamos lá!

Passo 6

Para que L < 1 , precisamos que x obedeça a seguinte desigualdade

| 3 x | < 1

Como temos uma função modular a desigualdade acima nos dá na verdade dois intervalos de validade, precisamos que 3 x < 1 e que 3 x > - 1 , portanto, podemos escrever a seguinte desigualdade

- 1 < 3 x < 1

Como temos que 3 é simplesmente uma constante positiva, podemos dividir toda a desigualdade por 3 para obter o intervalo para x como

- 1 / 3 < x < 1 / 3

Essa é a forma inicial de nosso intervalo de convergência! No entanto, não podemos dizer nada sobre os valores extremos, vamos ter que verificar ambos individualmente! Vem comigo!

Passo 7

Para x = - 1 / 3 , temos que a nossa série toma a forma

∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 x 2 m + 1 = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 ( - 1 3 ) 2 m + 1

Como temos que ( - 1 3 ) 2 m + 1 = ( - 1 ) 2 m + 1 / 3 2 m + 1 , podemos simplificar a expressão acima para obter

∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 ( - 1 3 ) 2 m + 1 = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) 3 m + 1

que é uma série alternada que só toma os valores - 1 e + 1 , como teste da série alternada requer que a série seja decrescente e que o limite

l i m m → ∞ a m = 0

para x = - 1 / 3 , a nossa série é divergente! Note que colocar x = 1 / 3 positivo, não irá afetar a análise, já que obteremos simplesmente

∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) 2 m + 1

que nos dá resultados similares ao acima, então para x = 1 / 3 , a série também é divergente, e o intervalo de convergência é o seguinte

I . C   =   ( - 1 / 3,1 / 3 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A série de Maclaurin é ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 3 ) 2 m + 1 x 2 m + 1 e o intervalo de convergência é I . C   =   ( - 1 / 3,1 / 3 ) .

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