Verifique se as séries convergem ou divergem.

a ) ∑ n = 1 ∞ - 5 n - 1 6 n  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos olhar nossa série com mais carinho

∑ n = 1 ∞ - 5 n - 1 6 n

Você percebe aquele - 5 n - 1 ? Então, quando vc se deparar com isso vai precisar lembrar de separar a parte numérica do ( - 1 ) que tem ali escondidinho, e desmembrar todo resto

- 5 n - 1 = - 1.5 n - 1 = - 1 n - 1 5 n 5 - 1

- 1 n . a n , pois assim vamos ter uma série alternada!

Você lembra dos critérios para convergência de uma série alternada?

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Então a ideia aqui é escrever nossa série para termos ela nesse formato e analisar os critérios. Lembrando: se pelo menos 1 critério não for satisfeito, isso basta para que a série seja divergente. Para termos uma convergência, a série precisa satisfazer os dois critérios, beleza?

Vamos lá?

Passo 2

Nossa série é essa aqui

∑ n = 1 ∞ - 5 n - 1 6 n

Vamos abrir o numerador e agrupar os números com mesmo expoente:

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . 5 n . 5 - 1 6 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 5 6 n 5 - 1

= 1 5 ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 5 6 n

Beleza?

a n = 5 6 n , portanto lim n → ∞ ⁡ 5 6 n = 0 , ok! Primeiro critério foi satisfeito! Isso porque 5 6 < 1 , então temos uma exponencial com base menor do que um. Beleza?

Agora vamos verificar o segundo critério:

a n = 5 6 n ,   a n + 1 = 5 6 n + 1

E a razão

a n + 1 a n = 5 6 n + 1 5 6 n = 5 6 < 1

Logo a n + 1 < a n ! isso significa que o segundo critério também foi satisfeito! Uhul! Nossa série é convergente!

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1