Exercícios Resolvidos de Série alternada

Séries

Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 n - 3 π n = - 3 ∑ n = 0 ∞ - 3 n π n = - 3 ∑ n = 0 ∞ - 3 π n

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Passo 2

Chamando - 3 π = k , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:

- 3 ∑ n = 0 ∞ k n

E verificamos que o que determina a convergência da série é exatamente o termo k . E sabemos que se - 1 ≤ k ≤ 1 , a série irá convergir. Pois para valores muito grandes de n , começaremos a somar termos menores, menores e cada vez menores. E então a série irá convergir!

Passo 3

Isso quer dizer que se k estiver entre - 1 e 1 , nossa série converge! Como k = - 3 π que é um número entre - 1 e 1 , afirmamos que a série converge! E então, devemos calcular o valor da soma, ou seja, o valor para o qual ela converge!

Passo 4

Repare que a série em questão é uma Progressão Geométrica!! Significa que o próximo termo a ser somado, é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão. Nesse caso, a razão da nossa PG é - 3 π . Como a soma de uma PG de razão r entre - 1 e 1 vale S n = A 1 1 - r , podemos calcular a soma da série. Nossa série tem primeiro termo A 1 = - 3 π 0 = 1 . Então:

- 3 ∑ n = 0 ∞ - 3 π n = - 3 1 1 - - 3 π = - 3 1 π + 3 π = - 3 π π + 3

Resposta

A   s é r i e   c o n v e r g e   e   S = - 3 π π + 3

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