4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(g) Para todo inteiro positivo k a série alternada ∑ n = 1 ∞ - 1 n n k converge.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O que temos que fazer nessa questão é analisar algumas afirmações sobre séries e sequências e provar que tal afirmação é verdadeira ou falsa.

Nessa alternativa, temos que analisar a afirmação que nos diz que sendo k um número positivo inteiro qualquer, a série alternada ∑ n = 1 ∞ - 1 n n k converge.

Tem ideia de como analisamos isso? 🤔🤔

Como temos uma serie alternada, vamos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se podemos usar alguma informação a nosso favor!

No caso uma série alternada é dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n , dessa forma, o teste nos diz que se a n decresce e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 então a série converge.

Entendeu? Bora ver! 😉

Passo 2

Se a série alternada é dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n e a série dada no enunciado é ∑ n = 1 ∞ - 1 n n k , então vemos que a n = 1 n k .

Conforme n aumenta, n k também aumenta, concorda?

Dessa forma, como o denominador cresce, a fração 1 / n k decresce, logo o primeiro requisito é satisfeito, correto? a n é decrescente.

Agora temos que verificar se lim n → ∞ ⁡ a n é igual a 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n k

Fazendo n tender ao infinito, obtemos a raiz de um numero muito grande que resulta em outro número muito grande.

Como k é um numero inteiro e positivo, podemos dizer que ∞ k = ∞

Assim resultando em

lim n → ∞ ⁡ 1 n k = 1 ∞

1 ∞ tende a 0 , concorda? Temos um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande resultando em um número muito pequeno, tendendo a 0 . Ou seja

lim n → ∞ ⁡ 1 n k = 0

Assim o segundo quesito também é satisfeito, portanto a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n k converge.

Então a alternativa é verdadeira!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Verdadeira

Exercícios de Livros Relacionados

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1