Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

∑ m = 1 ∞ - 1 m m m 4 + 1

Passo 1

Ele quer a convergência dessa série, a primeira coisa que vamos fazer é analisar a convergência absoluta dessa série. Ou seja, temos que analisar

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 4 + 1 = ∑ n = 1 ∞ n n 4 + 1

Bem, olhando para essa série, vamos utilizar a comparação no limite. Temos:

b n = 1 n

Aplicando o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = ⁡ lim n → ∞ ⁡ n n 4 + 1 ⋅ n = 1

Logo essas séries convergem juntas ou divergem juntas. Como a 1 n diverge, temos que a série não converge absolutamente.

Devemos agora testar a convergência condicional.

Passo 2

Vamos utilizar o critério de Leibniz para ver se a série converge condicionalmente.

Primeiro podemos ver que o termo geral vai a zero, pois:

lim n → ∞ ⁡ n n 4 + 1 =   lim n → ∞ ⁡ n n 2 1 + 1 n 4 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 1 n 4 = 0

Além disso, como temos um n 2 em baixo e um n em cima, chegamos à conclusão que o denominador cresce mais rápido, então a série é decrescente! Logo, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1
Teste a série para convergência ou divergência.6- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1