12 - Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem.

d) ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 + n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos saber se a serie alternada dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 + n converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a n converge;

- Se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Se a a n converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a n diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 1 + n .

Podemos verificar se a n converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim n → ∞ ⁡ a n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n

Conforme n cresce o resultado da razão diminui (*), ou seja

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n = 0

Como dito em (*) podemos perceber que a n é decrescente.

E também como - 1 n 1 + n = 1 1 + n e pelo teste da integral 1 1 + n diverge.

Com tudo, como lim n → ∞ ⁡ a n = 0 foi satisfeito, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 + n converge condicionalmente.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Converge Condicionalmente

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