Enunciado

4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(e) Toda série convergente é absolutamente convergente.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nosso objetivo nessa questão é analisar uma afirmação a respeito de séries e provar se tal afirmação é verdadeira ou falsa.

No caso, a afirmação que foi dada é que toda série convergente é absolutamente convergente.

Será mesmo?? 🤔

Quando vamos obter a convergência de uma série sabemos que podemos encontrar três possíveis resultados. A série pode divergir, a série pode convergir absolutamente e a série pode convergir condicionalmente.

Mas então será que uma série que converge condicionalmente também converge absolutamente?

Bora ver! 😁

Passo 2

Para analisar essa afirmação, vamos usar a série dada por

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 …

Primeiro vamos ser se essa série converge absolutamente

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n

Perceba que - 1 n + 1 alterna entre 1 e - 1 , assim, quando colocamos esse valor em modulo, vamos obter

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Dessa forma, colocando nossa série em valores absolutos, transformamos ela em uma p-série dada por 1 / n p onde p = 1 .

Para esse tipo de série temos que a regra para convergência está relacionada a p , se p > 1 , a série converge, se p ≤ 1 , a série diverge.

Portanto, a série 1 / n diverge, logo - 1 n + 1 n não converge absolutamente!

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Como vimos no inicio do passo 2, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n é alternada já que os sinais dos seus termos se alternam.

Então, podemos fazer o teste das séries alternadas.

Esse teste nos diz que se uma dada série a n decresce onde ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n converge.

No caso, nosso a n é dado por 1 n e podemos perceber que a n decresce já que quanto maior n , maior é o denominador da divisão.

Então o primeiro critério é satisfeito.

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 n

Como n tende a um numero muito grande, a fração 1 / n tende a um número muito pequeno, tendendo a 0 , com isso, temos

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Os dois critérios da série alternada foram satisfeitos, portanto a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n converge.

Mas como não converge absolutamente, a série converge condicionalmente!

Logo nem todas as séries que convergem, convergem absolutamente! Portento essa afirmação é falsa!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Falsa

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